Muoni , Ancora !

Introduzione

I muoni sono particelle interessanti. Da tutto lo spazio arrivano verso la terra i raggi cosmici che, appena entrano negli strati superiori dell’atmosfera e interagiscono con i nuclei delle molecole di gas, producono moltissimi muoni. I muoni, cugini pesanti dell’elettrone, sono delle particelle instabili che “vivono” circa 2,2 microsecondi. Cioè dopo circa 2,2 μs decadono, in un elettrone e in una coppia neutrino – antineutrino. Il fenomeno del decadimento è un fenomeno statistico, qualcuno decade in più tempo, qualcuno in meno, ma “in media” dopo un tempo t=2,2 μs, chiamato vita media, la metà di essi è sparita.

I raggi cosmici ed i muoni in particolare, sono stati molto studiati in passato : sono famose le ricerche di Bruno Rossi, di Anderson, di Occhialini e l’importante esperimento di Piccioni, Pancini e Conversi.

I muoni sono tuttora molto studiati, e anche noi di PhysicsOpenLab proviamo ad effettuare una misura precisa della vita media grazie ad uno scintillatore plastico, ad una elettronica di acquisizione e ad un Raspberry Pi utilizzato come data logger.

Apparato

L’apparato è costituito da uno scintillatore plastico accoppiato con PMT. Gli impulsi prodotti dal fotomoltiplicatore vengono amplificati e successivamente acquisiti da una scheda PSoC che provvede ad inviare i dati ad un Raspberry Pi per la memorizzazione e l’elaborazione. L’apparato di acquisizione è stato descritto dettagliatamente nei post Misura Decadimento Muone con PSoC e Muoni Cosmici e Tempo di Vita del Muone.
L’immagine sotto mostra lo schema di principio dell’apparato :

Immagine che mostra lo scintillatore, posto in un contenitore a tenuta di luce, e la parte elettronica connessa al Raspberry Pi.

I dati temporali sui decadimenti dei muoni sono stati acquisiti mediante un Raspberry Pi con un software python (vedi post Raspberry Pi Logger (ITA)), i dati sono stati registrati su file, la “presa dati” è durata oltre 10 giorni, con un tasso medio di 0.4 eventi al minuto, ed ha permesso di raccogliere 9906 eventi.

Software Python di Elaborazione Dati

Il file, in formato csv, contenente i dati temporali sui decadimenti dei muoni viene elaborato da un software python (gentilmente preparato dall’amico Alessandro Ebranati) che provvede a generare l’istogramma e a determinare la funzione esponenziale che meglio approssima i dati sperimentali (fitting ottimo). Il software è basato sulle librerie python numpy, matplotlib e scipy.
Riportiamo alcuni spezzoni di codice per illustrare i vari passaggi :

# definizione della funzione di modello sulla quale fare il fit
def model_func(x, tau, off, amp):
   return off + amp * np.exp(-1.0 * x / tau)

L’istogramma viene generato con la libreria numpy :

# numpy fa tutto da solo, basta indicare il numero di bin e lui produce due
# array, il primo (lungo BIN_NUM) con le occorrenze ed il secondo (lungo BIN_NUM+1)
# con gli estremi sx e dx dei bin
n, bins = np.histogram(data, BIN_NUM)

Il fitting ottimale viene ottenuto con la funzione curve_fit della libreria scipy :

# fit della curva: viene restituito l'array con i parametri "ottimi" ed una matrice
# con la stima della covarianza tra gli stessi (sulla diagonale trovi i sigma^2 dei
# singoli parametri)
popt, pcov = curve_fit(model_func, xdata, n)
perr = np.sqrt(np.diag(pcov))
print('Parametri ottimi', popt)
print('Sigma dei parametri', perr)

Il tutto, istogramma e funzione di best fitting, viene restituito in forma grafica con le funzioni della libreria matplotlib. Download della applicazione python : lettura_istogramma_e_fit

Risultati

L’istogramma con i dati raccolti è mostrato nella immagine sotto. Il tempo massimo acquisito è 20 μsec. L’intervallo temporale 0 – 20 μsec viene suddiviso in 200 bin, ognuno dei quali ampio 0.1 μsec, i primi 6 bin (0.6 μsec) sono stati esclusi perchè intervalli temporali così brevi sono affetti da incertezza maggiore. Il numero totale degli eventi registrati è di 9906 eventi.
Sulla base di questi dati è stata determinata la funzione esponenziale che meglio si adatta ai dati raccolti. Nella funzione di fitting è stato inserito anche un offset in modo da tenere conto degli eventi temporalmente vicini ma non correlati fra loro (noise).

f(x) = off + amp x e^-t/τ

La costante di tempo dell’esponenziale (che corrisponde al tempo di vita del muone) vale :

τ = 2.11 ± 0.04 μsec

Alcuni Calcoli

I muoni, di cui misuriamo il tempo di vita, necessariamente interagiscono con la materia all’interno del cristallo scintillatore. I muoni negativi che si fermano nello scintillatore possono legarsi ai nuclei del carbonio e dell’idrogeno più o meno come fanno gli elettroni. Poiché il muone non è un elettrone, il principio di esclusione di Pauli non impedisce che occupi un orbitale atomico già occupato da elettroni. Questi muoni negativi legati possono quindi interagire con i protoni dei nuclei, producendo un neutrone e un neutrino:

μ^– + p -> n + ν_μ

Questa interazione si può verificare prima del decadimento spontaneo. Ci sono quindi due modalità diverse di “scomparsa” per un muone negativo, ne consegue che il tempo di vita effettivo dei muoni negativi all’interno della materia è leggermente inferiore a quello dei muoni carichi positivamente, i quali non hanno questo secondo meccanismo di interazione.

Il tempo di vita del muone che misuriamo con questo apparecchio è una media sulle particelle di entrambe le cariche, il valore che misuriamo sarà quindi un pò minore del tempo di vita che il muone ha nello spazio vuoto : τ_μ =2.19703 ± 0.00004 μsec.

La nostra misurazione della durata del muone nello scintillatore plastico è una media su entrambi i muoni caricati negativamente e positivamente. Abbiamo già visto che il μ negativo ha una durata un po ‘più piccola dei muoni caricati positivamente a causa delle interazioni deboli tra muoni negativi e protoni nei nuclei dello scintillatore.
La probabilità di questa interazione è proporzionale a Z⁴ dove Z è il numero atomico dei nuclei, possiamo quindi dire che la vita media dei muoni negativi nello scintillatore plastico e nel carbonio sono praticamente uguali. La vita media nel carbonio è stata accuratamente misurata e vale τ_c = 2.043 ± 0.003 μsec.
Possiamo quindi scrivere :
Per i muoni positivi : τ⁺ =2.19703 ± 0.00004 μsec
Per i muoni negativi : τ^– =2.043 ± 0.003 μsec

Il valore che osserviamo dovrebbe essere la media tra questi due valori. Supponendo che il numero di muoni positivi sia uguale al numero di quelli negativi (dalla letteratura scientifica si evince che c’è una piccola prevalenza dei muoni positivi, ma per il nostro livello di analisi li possiamo assumere uguali) il tempo medio di decadimento si può calcolare nel seguente modo :

τ = 2(τ⁺τ^–)/( τ⁺+ τ^–) = 2.117 μsec

Il valore ottenuto nella nostra misurazione è : τ = 2.11 ± 0.04 μsec , risulta pertanto in perfetto accordo con il valore atteso.

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