La Diffrazione ed il Principio di Babinet

Abstract: in questo post proponiamo due applicazioni della teoria della diffrazione per la misurazione di oggetti di piccola dimensione: lo spessore di un capello ed il diametro di un globulo rosso. Per queste misurazioni viene applicato il principio di Babinet sulla figura di diffrazione generata da un ostacolo.

Il Principio di Babinet

In fisica, il principio di Babinet afferma che il pattern di diffrazione generato da un corpo opaco è identico a quello prodotto da un foro della stessa dimensione e forma eccetto che per l’intensità complessiva della luce trasmessa in direzione anteriore. È stato formulato nel 1800 dal fisico francese Jacques Babinet.
La spiegazione è relativamente semplice. Supponiamo che B sia il corpo diffrangente originale e B’ sia il suo complemento, cioè un corpo trasparente dove B è opaco e opaco dove B è trasparente. La somma dei pattern di radiazione causati da B e B ‘deve essere uguale al pattern di radiazione del fascio non ostruito. Nei punti in cui il fascio indisturbato non sarebbe arrivato i pattern di radiazione prodotti da B e B’ devono pertanto essere opposti in fase, ma uguali in ampiezza.

Misura dello Spessore di un Capello

In accordo al principio di Babinet la figura di diffrazione prodotta da un capello è uguale a quella prodotta da una fenditura avente larghezza uguale allo spessore del capello.
La figura di diffrazione prodotta da una fenditura è ben nota e consiste in un massimo centrale seguito da una serie di massimi minori separati da punti di minimo. Se la fenditura è verticale la serie di massimi e minimi sarà disposta orizzontalmente.
Applicando la teoria della diffrazione è facile ricavare la condizione affinchè sullo schermo si formi un punto di minima intensità: facendo riferimento alla immagine seguente, si vede che la differenza di cammino delle onde secondarie generate dal bordo superiore della fenditura e dal suo punto medio è pari a (a/2)xsin(θ), se questa differenza di cammino è pari a mezza lunghezza d’onda si avrà interferenza distruttiva delle due onde e quindi intensità minima, questo corrisponde alla relazione:  (a/2) sin(θ) = λ/2 cioè a sin(θ) = mλ dove m è un numero intero .. -2,-1, 0, +1, +2, … L’angolo θ si ricava facilmente dal rapporto tra la distanza y e la distanza D tra la fenditura e lo schermo.

form http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/

Il setup sperimentale è mostrato nella immagine seguente. Il laser He-Ne è posto su di un banco ottico e direttamente di fronte allo specchio di uscita è posto il capello posizionato in un porta-diapositive. Lo schermo è posizionato ad una certa distanza in modo che siano ben distanziati i massimi e minimi della figura di diffrazione.


L’immagine seguente mostra la figura di diffrazione proiettata sullo schermo.


Per ogni punto di minimo è stata presa la sua distanza dal massimo centrale ed è stato calcolato il corrispondente valore di sin(θ). Il grafico seguente mostra i dati presi per i punti di minimo visibili sullo schermo, insieme al relativo numero intero m. I punti del grafico individuano con ottima precisione la retta di regressione dalla quale si può ricavare il parametro sin(θ)/m. Questo parametro ci serve per il calcolo del valore d (spessore del capello).

Dai dati ricavati dalle misurazioni e dalla conoscenza della lunghezza d’onda emessa dal laser He-Ne possiamo facilmente determinare lo spessore del nostro capello:

d x sin(θ) = m x λ ⇒ d = (m/sin(θ)) x λ
lunghezza d’onda laser λ = 632.8 nm
distanza dello schermo D = 892 mm

spessore capello d = λ / 0.0054 = 0.117 mm

Misura delle dimensioni di un Globulo Rosso (Eritrocita)

Possiamo utilizzare il principio di Babinet per effettuare una misura interessante di rilevanza biologica. Come sappiamo il sangue è composto da una parte liquida – il plasma – ed una parte corpuscolare costituita dalle cellule contenute nel sangue. Le cellule sono per la maggior parte globuli rossi – eritrociti – i quali hanno la funzione di trasportare l’ossigeno alle cellule del corpo. Studiando la figura di diffrazione prodotta da uno strato di eritrociti possiamo stimare la dimensione della cellula sapendo che la figura di diffrazione è uguale a quella prodotta da una apertura circolare avente le medesime dimensioni.
La diffrazione prodotta da una apertura circolare – in pratica un foro – è costituita da un massimo centrale circondato da una serie di anelli aventi intensità via via minori. La fisica che sta alla base è in pratica la stessa che governa la diffrazione da fenditura anche se, volendo essere precisi, la soluzione esatta prevede l’utilizzo di una matematica notevolmente complessa.
Per il primo minimo si può utilizzare la relazione semplificata d sin(θ) = 1.22λ, dove d è il diametro del foro. L’immagine seguente mostra la figura di diffrazione, anche nota come disco di Airy.

from http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/

Il setup sperimentale è mostrato nella immagine seguente. Il laser He-Ne è posto su di un banco ottico e direttamente di fronte allo specchio di uscita è posto il vetrino da microscopio con lo “striscio” di sangue. Lo schermo è posizionato ad una certa distanza in modo che siano ben distanziati i massimi e minimi della figura di diffrazione.


Per ottenere dei buoni risultati è importante che lo strato di globuli rossi presente sul vetrino sia il più possibile sottile, idealmente un singolo strato di cellule. In questo modo la figura di diffrazione che si ottiene è più nitida. L’immagine sotto mostra il nostro vetrino con il campione di sangue.


Dalla distanza del primo minimo della figura di diffrazione possiamo ricavare direttamente il diametro dei nostro globuli rossi:

d x sin(θ) = 1.22 x λ ⇒ d = (1.22/sin(θ)) x λ
lunghezza d’onda laser λ = 632.8 nm
distanza dello schermo D = 97 mm
minimum = 11 mm
θ = 0.113 rad

diametro cellula d = (1.22/sin(θ)) x λ = 6851 nm = 6.851 μm

Conclusioni

Il comportamento ondulatorio della luce ci ha sorpresi ancora una volta. Il principio di Babinet, basato sul fenomeno della diffrazione, sembra, a prima vista, totalmente contro-intuitivo ma è così che si comporta la luce! L’applicazione di questo principio ci ha permesso di fare una stima quantitativa delle dimensioni dei globuli rossi ottenendo dei valori in linea con i valori comunemente accettati.

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