La Doppia Elica & Diffrazione Ottica

Introduzione

In questo Post descriviamo il nostro tentativo di replicare l’esperimento sulla diffrazione dei raggi X da parte della molecola di DNA. Questo ricerca sperimentale, condotta a suo tempo da Rosalind Franklin, ha permesso di capire la struttura della molecola di DNA.
Naturalmente lavorare con i raggi X e con molecole di DNA “cristallizzate” non è banale, per questo motivo la nostra esperienza sarà una sorta di simulazione fatta con la radiazione visibile di un laser He-Ne al posto dei raggi X e con una molla (di grandezza macroscopica) al posto della molecola di DNA.
La nostra “simulazione” con laser e molla, ci permetterà di capire come dalle immagini di diffrazione (un esempio è riportato nella immagine di copertina) si possono ottenere informazioni dettagliate sulla struttura spaziale della molecola di DNA.

La diffrazione e l’interferenza della radiazione elettromagnetica sono fenomeni facilmente osservabili che danno evidenza diretta e tangibile della natura ondulatoria della luce. La diffrazione è alla base di molte tecnologie, tecniche scientifiche e comuni fenomeni ottici ed elettromagnetici. Non ci occuperemo ora in dettaglio della diffrazione, per la quale rimandiamo ai numerosi testi ed ai seguenti precedenti Post : Reticolo di Diffrazione & Laser, La Luce come Onde : la Diffrazione.

Richiamiamo però il principio di Babinet, il quale afferma che la figura di diffrazione prodotta da un disco opaco di diametro D è identica a quella prodotta da un’apertura circolare di diametro D praticata su uno schermo opaco. In pratica le figure di diffrazione prodotte da un ostacolo e da una apertura aventi le medesime dimensioni lineari sono le stesse.

Questo principio ci viene in aiuto perché la figura di diffrazione prodotta da un insieme di fenditure di larghezza w e distanziate d è la stessa prodotta da un insieme di fili aventi diametro w e distanziati d. La teoria della diffrazione da fenditura è ben nota.
Nella figura sotto è rappresentata la figura di diffrazione che si ottiene da n fenditure : i minimi con spaziatura maggiore corrispondono alla ampiezza w, mentre i minimi con spaziatura minore corrispondono alla distanza d tra le fenditure. Maggiore è il numero delle fenditure e migliore è la definizione dei minimi e dei massimi.

Una molla vista frontalmente è costituita da due serie di segmenti aventi diametro pari al diametro del filo della molla, spaziati fra loro in maniera regolare, con passo P, e angolati fra loro con angolo 2α. Lo schema sotto mostra questi parametri dimensionali di una molla.

Naturalmente sappiamo che la molecola di DNA è costituita da una doppia elica. Una doppia elica vista frontalmente consiste di quattro serie di segmenti, come rappresentato nella immagine seguente.

Nella immagine sotto (tratta da Tatiana Latychevskaia and Hans-Werner Fink, Physics Department of the University of Zurich, ,Three-dimensional double helical DNA structure directly revealed from its X-ray fiber diffraction pattern by iterative phase retrieval) mostriamo i legami fra la figura di diffrazione prodotta dalla molecola di DNA e i parametri dimensionali della doppia elica.

• a : La distribuzione a forma di “X” dei picchi di diffrazione è un’indicazione di una struttura elicoidale. I segmenti inclinati che formano la vista frontale di un’elica danno origine a una linea inclinata di picchi di diffrazione. Due serie di segmenti producono due linee di diffrazione con la stessa angolazione reciproca.
• b : La separazione tra i massimi (minimi) di diffrazione corrisponde al passo della elica, questo discende direttamente dalla teoria della diffrazione di n fenditure e dal principio di Babinet.
• c : I massimi nella parte superiore e inferiore sono prodotti dalla diffrazione di strutture periodiche più piccole (le coppie di basi). Anche questo deriva dalla teoria della diffrazione e dal principio di Babinet.
• d : I punti di diffrazione mancanti sono un’indicazione di una doppia elica. Questo è interessante, se ci fosse una sola elica non ci sarebbero punti mancanti ma con due eliche, in quella posizione ci sono interferenze distruttive : ecco quindi il punto mancante.
• e : La posizione laterale dei massimi dei punti di diffrazione è correlata al raggio dell’elica del DNA.

L’Esperimento

L’esperimento consiste semplicemente nell’effettuare una prova di diffrazione di un fascio laser da parte di una molla che serve come modello della elica del DNA. A questo scopo abbiamo utilizzato un laser He-Ne che emetto su λ = 632.8 nm, il raggio laser viene allargato con un beam-expander in modo da ottenere un fascio con una sezione di circa 1 cm. La molla viene posizionata di fronte al fascio laser e viene osservata la figura di diffrazione che si ottiene ad una distanza di 5 – 10 m.
L’immagine sotto mostra il laser e la molla utilizzata.

L’immagine seguente mostra una fotografia ingrandita della molla utilizzata, sulla quale sono evidenziati i parametri dimensionali : il passo P, il diametro d del filo e l’angolo θ.
Come già detto nel paragrafo precedente, vista di fronte rispetto al fascio laser, l’elica si presenta come due serie di “bracci”, tutti paralleli, di diametro d e spaziati di un passo P, queste due serie di bracci paralleli hanno angolazione rispetto alla normale all’asse della elica di un angolo pari a θ.

La figura di diffrazione che si ottiene è raffigurata, un po’ sfocata, nella immagine sotto.
Quello che si nota sono le due linee angolate fra loro, che si dipartono dal centro della “X”. Queste due linee sono originate dalla diffrazione delle due serie di bracci che costituiscono la molla e sono perpendicolari a queste ultimi. La angolazione fra le linee di diffrazione corrisponde alla angolazione fra i bracci.

2θ = 18° -> θ = 9°

Le linee di diffrazione presentano poi diversi minimi e massimi dovuti alla interferenza reciproca delle onde del fascio laser diffratte dai bracci della molla. Dalla teoria della diffrazione, conoscendo la spaziatura, quella minore e quella maggiore, sappiamo calcolare le dimensioni lineari degli ostacoli che hanno causato la diffrazione.

Distanza tra la molla e lo schermo : D = 8.25 m
Lunghezza onda della radiazione laser : λ = 632.8 nm
Spaziatura minore : Δ₁ = 11 mm
Spaziatura maggiore : Δ₂ = 2.3 mm

La spaziatura maggiore è causata dall’ostacolo con dimensione minore : d₁ = λD / Δ₁ = 0.47 mm
La spaziatura minore è causata dall’ostacolo con dimensione maggiore : d₂ = λD / Δ₂ = 2.27 mm

Da banali considerazioni geometriche possiamo ricavare il diametro del filo della molla ed il passo, che corrispondono abbastanza bene alle misurazioni fatte con il calibro :
d = d₁ = 0.47 mm
P = d₂ / cosθ = 2.3 mm

Conclusioni

L’esperimento della diffrazione di un fascio laser da parte di una molla si è dimostrato un valido ausilio didattico per la descrizione degli storici esperimenti di Rosalind Franklin sulla diffrazione dei raggi X da parte delle molecole di DNA che hanno permesso di capire in dettaglio la struttura delle molecola di DNA.
Mentre replicare la diffrazione X su molecole di DNA è fuori dalla portata di molti laboratori, l’utilizzo di questo modello semplificato (molla + laser) permette di esplorare la tecnica della diffrazione e di ricavare con buona approssimazione i parametri dimensionali dell’elica.

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