I Raggi Cosmici come Processo Casuale

L’arrivo dei raggi cosmici in un rivelatore è un processo casuale e come tale segue una legge di distribuzione caratteristica di eventi randomici. In particolare quando il numero atteso di eventi in un dato intervallo di tempo è piccolo, allora questo numero dovrebbe seguire la distribuzione statistica di Poisson.

La Distribuzione di Poisson

Poisson dimostrò che la probabilità di osservare un numero n di tali eventi casuali rari, in un intervallo spaziale o temporale finito e sempre identico, vale :

con μ il valor medio del numero di eventi per intervallo che si sono osservati in un numero N di osservazioni identiche. Per questa distribuzione la varianza ha lo stesso valore del valor medio, cioè μ.
Una caratteristica della ditribuzione di Poisson è che al crescere di μ si approssima ad una distribuzione normale (o gaussiana) con valore atteso μ e deviazione standard σ = √μ.
Il valore medio μ può espresso anche nel seguente modo : μ = rt , dove r è il tasso medio di eventi e t è l’intervallo temporale in esame.
Dalla equazione della distribuzione di Poisson possiamo ricavare la probabilità differenziale per un evento (n=1) che si verifica nell’intervallo differenziale dt :

dP = P_(0,t) = rdt

Continuando le nostre deduzioni a partire dalla distribuzione di Poisson, possiamo ricavare che la probabilità che nell’intervallo t non si verifichi nessun evento è data dalla seguente relazione :

P_(0,t) = e ^-rt

Possiamo verificare sperimentalmente questa proposizione misurando la distribuzione degli intervalli temporali che separano due eventi successivi di rilevazione di muoni. Un intervallo temporale t tra due eventi è per definizione un intervallo temporale senza eventi durante t e con un evento all’istante t. Combinando le due relazioni precedenti possiamo ottenere la distribuzione temporale richiesta :

q(t)= dP / dt = re ^-rt

Si vede come la distribuzione sopra è esponenziale, questo significa che intervalli temporali brevi sono molto più probabili che intervalli lunghi.
Il risultato ottenuto per m = 1, cioè per eventi adiacenti (o successivi) può essere generalizzato per intervalli temporali che separano ciascun secondo evento o ciascun evento n-mo. Risulta che al crescere di m la distribuzione tende ad una gaussiana centrata su t = mr.

Misure Sperimentali

Per registrare l’istante di arrivo di una particella cosmica abbiamo utilizzato il rivelatore per muoni a scintillazione, utilizzato anche per la misura del tempo di decadimento del muone e descritto nel post : Misura Decadimento Muone con PSoC. Il software permette di registrare su file su SD card l’intervallo temporale tra due successivi eventi, in questo modo è possibile avere una statistica di intervalli temporali tra due successive rilevazioni di muoni cosmici. L’immagine sotto mostra il rivelatore e la sua unità di controllo.

La misura è stata fatta registrando gli intervalli temporali tra eventi adiacenti (m = 1) e creando successivamente, con le funzionalità di excel, un istogramma con un bin temporale di 25 ms. Il risultato è mostrato nella immagine sotto, dalla quale è evidente l’andamento esponenziale della frequenza.

Per ricavare il fitting esponenziale abbiamo utilizzato il pacchetto software Gnu Octave.
I dati sugli intervalli temporali sono stati inseriti in un file di testo : TempoMuoni.dat e sono stati caricati nel software Octave, è stato creato un istogramma con bin=25 ms (40 bins su range di 1000 ms) e poi, con la funzione expfit, è stata determinata la curva esponenziale di approssimazione dei dati :

load TempoMuoni.dat;
[n,x] = hist(TempoMuoni,40);
pkg load optim;
[alpha,c,rms]=expfit(2,0,25,n);
plot(x,n,’rs’,x,c(1)*exp(alpha(1)*x),’r’);

L’esponente della curva vale alpha = 0.00393.

Con gli stessi dati è stato successivamente calcolato l’intervallo temporale per m = 5, ed è stato determinato il relativo istogramma con bin temporale di 100 ms. Il risultato è mostrato nel diagramma seguente in cui si vede che l’andamento comincia ad essere simile ad una gaussiana.

Per finire, sempre con gli stessi dati è stato calcolato l’intervallo temporale per m = 100, ed è stato determinato il relativo istogramma con bin temporale di 1000 ms. Il risultato è mostrato nel diagramma seguente in cui si vede che l’andamento corrisponde ad una gaussiana con un picco a bassa varianza.

In pratica si vede come al crescere del numero di eventi che vengono presi in considerazione la misura diventi più stabile e quindi più precisa.

In particolare per m = 1, approssimando la distribuzione misurata con una curva esponenziale ricaviamo un esponente r pari a 0.00393 che corrisponde a 3,93 eventi/s pari a 236 CPM.

Per m= 5, invece approssimiamo la curva con una gaussiana (media = 1351 ms, deviazione std = 544 ms) che ci porta a 3,7 eventi/s pari a 222 CPM.

Per m = 100, approssimiamo la curva sempre con una gaussiana (media = 27310 ms, deviazione std = 2400ms) che ci porta a 3,66 eventi/s pari a 220 CPM.

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