I Raggi Cosmici come Processo Casuale

L’arrivo dei raggi cosmici in un rivelatore è un processo casuale e come tale segue una legge di distribuzione caratteristica di eventi randomici. In particolare quando il numero atteso di eventi in un dato intervallo di tempo è piccolo, allora questo numero dovrebbe seguire la distribuzione statistica di Poisson.

La Distribuzione di Poisson

Poisson dimostrò che la probabilità di osservare un numero n di tali eventi casuali rari, in un intervallo spaziale o temporale finito e sempre identico, vale :

con μ il valor medio del numero di eventi per intervallo che si sono osservati in un numero N di osservazioni identiche. Per questa distribuzione la varianza ha lo stesso valore del valor medio, cioè μ.
Una caratteristica della ditribuzione di Poisson è che al crescere di μ si approssima ad una distribuzione normale (o gaussiana) con valore atteso μ e deviazione standard σ = √μ.
Il valore medio μ può espresso anche nel seguente modo : μ = rt , dove r è il tasso medio di eventi e t è l’intervallo temporale in esame.
Dalla equazione della distribuzione di Poisson possiamo ricavare la probabilità differenziale per un evento (n=1) che si verifica nell’intervallo differenziale dt :

dP = P(0,t) = rdt

Continuando le nostre deduzioni a partire dalla distribuzione di Poisson, possiamo ricavare che la probabilità che nell’intervallo t non si verifichi nessun evento è data dalla seguente relazione :

P(0,t) = e -rt

Possiamo verificare sperimentalmente questa proposizione misurando la distribuzione degli intervalli temporali che separano due eventi successivi di rilevazione di muoni. Un intervallo temporale t tra due eventi è per definizione un intervallo temporale senza eventi durante t e con un evento all’istante t. Combinando le due relazioni precedenti possiamo ottenere la distribuzione temporale richiesta :

q(t)= dP / dt = re -rt

Si vede come la distribuzione sopra è esponenziale, questo significa che intervalli temporali brevi sono molto più probabili che intervalli lunghi.
Il risultato ottenuto per m = 1, cioè per eventi adiacenti (o successivi) può essere generalizzato per intervalli temporali che separano ciascun secondo evento o ciascun evento n-mo. Risulta che al crescere di m la distribuzione tende ad una gaussiana centrata su t = mr.

Misure Sperimentali

Per registrare l’istante di arrivo di una particella cosmica abbiamo utilizzato il rivelatore per muoni a scintillazione, utilizzato anche per la misura del tempo di decadimento del muone e descritto nel post : Misura Decadimento Muone con PSoC. Il software permette di registrare su file su SD card l’intervallo temporale tra due successivi eventi, in questo modo è possibile avere una statistica di intervalli temporali tra due successive rilevazioni di muoni cosmici. L’immagine sotto mostra il rivelatore e la sua unità di controllo.


La misura è stata fatta registrando gli intervalli temporali tra eventi adiacenti (m = 1) e creando successivamente, con le funzionalità di excel, un istogramma con un bin temporale di 25 ms. Il risultato è mostrato nella immagine sotto, dalla quale è evidente l’andamento esponenziale della frequenza.

Per ricavare il fitting esponenziale abbiamo utilizzato il pacchetto software Gnu Octave.
I dati sugli intervalli temporali sono stati inseriti in un file di testo : TempoMuoni.dat e sono stati caricati nel software Octave, è stato creato un istogramma con bin=25 ms (40 bins su range di 1000 ms) e poi, con la funzione expfit, è stata determinata la curva esponenziale di approssimazione dei dati :

load TempoMuoni.dat;
[n,x] = hist(TempoMuoni,40);
pkg load optim;
[alpha,c,rms]=expfit(2,0,25,n);
plot(x,n,’rs’,x,c(1)*exp(alpha(1)*x),’r’);

L’esponente della curva vale alpha = 0.00393.

Con gli stessi dati è stato successivamente calcolato l’intervallo temporale per m = 5, ed è stato determinato il relativo istogramma con bin temporale di 100 ms. Il risultato è mostrato nel diagramma seguente in cui si vede che l’andamento comincia ad essere simile ad una gaussiana.

Per finire, sempre con gli stessi dati è stato calcolato l’intervallo temporale per m = 100, ed è stato determinato il relativo istogramma con bin temporale di 1000 ms. Il risultato è mostrato nel diagramma seguente in cui si vede che l’andamento corrisponde ad una gaussiana con un picco a bassa varianza.

In pratica si vede come al crescere del numero di eventi che vengono presi in considerazione la misura diventi più stabile e quindi più precisa.

In particolare per m = 1, approssimando la distribuzione misurata con una curva esponenziale ricaviamo un esponente r pari a 0.00393 che corrisponde a 3,93 eventi/s pari a 236 CPM.

Per m= 5, invece approssimiamo la curva con una gaussiana (media = 1351 ms, deviazione std = 544 ms) che ci porta a 3,7 eventi/s pari a 222 CPM.

Per m = 100, approssimiamo la curva sempre con una gaussiana (media = 27310 ms, deviazione std = 2400ms) che ci porta a 3,66 eventi/s pari a 220 CPM.

Se ti è piaciuto questo articolo puoi condividerlo sui “social” Facebook, Twitter o LinkedIn con i pulsanti presenti sotto. In questo modo ci puoi aiutare ! Grazie !

Donazioni

Se vuoi contribuire allo sviluppo di questo sito ed allo sviluppo di nuove attività sperimentali puoi fare una donazione, Grazie !

Check Also

Spettroscopia di Risonanza Elettronica di Spin

Abstract: in questo post andiamo a descrivere le misurazione effettuate con il nostro apparato ESR "homebuilt" su alcuni composti organici paramagnetici (in particolare radicali liberi stabili) noti per la loro forte risposta alla risonanza elettronica di spin.