Shot Noise e Carica dell’Elettrone

Lo shot noise o rumore granulare è il rumore elettronico dovuto alla natura “corpuscolare” della carica.
Il primo studio sul rumore shot fu svolto da W. Schottky nel 1918 esaminando le fluttuazioni elementari della corrente nei tubi elettronici a vuoto (diodi, triodi, ecc.). Questo tipo di rumore si manifesta infatti quando una corrente elettrica, cioè un flusso di portatori di carica, attraversa una barriera di potenziale, come avviene nei tubi a vuoto o nelle giunzioni p-n.
Esso deriva dalla natura discreta della carica elettrica e dall’indipendenza statistica dei singoli eventi di attraversamento da parte di ciascuna carica elementare e per questo è chiamato anche rumore granulare.
Il rumore Shot è bianco fino a frequenze dell’ordine dell’inverso del tempo di transito degli elettroni.

In alcuni dispositivi (es.: il diodo a vuoto o il diodo semiconduttore contropolarizzato) il  passaggio di corrente elettrica e’ dovuto alla emissione casuale di singoli elettroni.

In queste condizioni, gli eventi possono essere descritti tramite una  funzione δ(t) (delta di Dirac). Facendo la sua trasformata e calcolando la densità spettrale di energia si ottiene :

Se si ha in media un flusso di n elettroni in un tempo T, la “potenza” media di rumore “shot” (quando la corrente percorre una resistenza di 1 Ω) e’:

Esempio:
I = 1 μA -> In  = 0.57 pA Hz­½
q = carica dell’elettrone = 1.6 ∙10 ­^-19 C

Apparecchiatura di Misura

Per la misura dello shot noise è stata utilizzata la stessa apparecchiatura utilizzata per la misura del rumore termico. Per ottenere le caratteristiche richieste (basso rumore e bassa capacità di input), il sistema di misura del rumore che è stato adottato è basato su tre stadi :

• Stadio di ingresso con JFET a bassissima capacità di input (BF244);
• Stadio di pre-amplificazione con OP-AMP a bassissimo rumore (LT1028);
• Stadio di amplificazione con OP-AMP (LT1357)

Il sistema è basato sul progetto JCan dei Gellerlabs, descritto nel seguente articolo : jcan-nv-article e nel seguente post Rumore Termico e Costante di Boltzmann. Nelle immagini sotto si vede l’amplificatore montato sul suo PCB e fissato al coperchio della scatola metallica, si notano il connettore BNC e le due batterie da 9V per l’alimentazione dell’amplificatore. Sulla sinistra del PCB ci sono i terminali per l’inserimento della sorgente di rumore shot.

Per la sorgente di rumore shot è stato utilizzato un fotodiodo esposto alla luce prodotta da un LED. Il rumore shot viene prodotto dalle fluttuazione statistiche del numero di fotoni che incidono sulla superfice sensibile del fotodiodo. Queste fluttuazioni statistiche seguono una distribuzione di Poisson : se la superficie del rivelatore riceve in media N fotoni durante un intervallo τ di integrazione, allora la deviazione standard del numero di fotoni ricevuti è √N. I fotoelettroni creati nel rivelatore obbediscono alla stessa statistica Poissoniana e questo spiega il rumore shot della fotocorrente.

Il fotodiodo è il modello S 1223 Hamamatsu. Questo fotodiodo è caratterizzato da elevata velocità di risposta, bassa capacità ed elevata sensibilità nel range visibile e vicino infrarosso. Il picco di sensibilità è attorno a 830nm, la massima tensione inversa di polarizzazione è di 30V.
Il fotodiodo viene illuminato da un LED che emette nel vicino infrarosso, 840nm, in modo da massimizzare la risposta del fotodiodo. LED e fotodiodo sono stati posizionati uno di fronte all’altro e protetti dalla luce ambientale.
Il fotodiodo viene utilizzato in modalità fotoconduttiva ed è polarizzato inversamente. La fotocorrente prodotta viene amplificata con un amplificatore a transimpedenza realizzato con l’amplificatore operazionale OP 134. Questo op-amp è caratterizzato da stadio di ingresso a FET con bassa corrente(5pA), basso rumore ed alta velocità.
L’immagine riportata sotto descrive lo schema di principio del sistema. La tensione di polarizzazione del fotodiodo è di 9V, la resistenza di feedback Rf vale 10kΩ. Il segnale prodotto viene inviato sia al circuito di misurazione del rumore (attraverso un condensatore di accoppiamento) sia all’esterno dell’apparato per la misurazione del valore in continua che ci permette la determinazione del valore della fotocorrente.

Nella immagine sotto si vede il fotodiodo ed il LED accoppiati e protetti dalla luce da una guaina scura. Il LED è alimentato da una batteria da 9V con una resistenza serie da 400Ω ed un potenziometro da 5kΩ che permette di variare con continuità la luminosità del LED.

Nella immagine sotto si vede il sistema collegato al millivoltmetro per la misura del valore del rumore e al multimetro per la misura della tensione continua.

Calibrazione e Misure

Per la misura del segnale di rumore si può utilizzare un millivoltmetro come quello mostrato nella immagine sopra: si tratta di un millivoltmetro AC di precisione, modello HP 400 EL, con fondoscala di misura variabile da 1mV a 300V. Strumenti di questo tipo, usati, si trovano abbastanza facilmente ed a prezzo contenuto su eBay.
Al fine di ottenere il valore reale di Vrms la lettura di questo strumento va moltiplicata per un fattore pari a 1,13, questo perchè lo stumento è configurato per un segnale sinusoidale mentre nel caso del rumore termico il segnale è randomico. Per la misura della tensione continua / fotocorrente si può utilizzare un normale multimetro da laboratorio.

Il circuito va poi calibrato in modo da determinare le sue caratteristiche operative. Per la calibrazione si può utilizzare il metodo descritto nell’articolo relativo al JCan, va inoltre misurato il livello base di rumore spegnendo il LED. Questi dati vanno inseriti nel seguente template excel jcancalibrationworksheet_shotnoise.
Vanno poi regolati i parametri guadagno (gain) e banda (bandwidth) in modo che i valori misurati corrispondano ai valori teorici. I calcoli tengono conto del livello base di rumore e della resistenza di feedback.
Nello schema sotto riportato si vede il risultato per le misurazioni che abbiamo effettuato :
T = 20°C
Rf = 10kΩ
Noise base = 3,7mV
Gain = 2200 (parametro stimato)
BandWidth = 14000Hz (parametro stimato)

Nel grafico sotto riportato si può vedere, in rosso, l’andamento del Vrms del rumore shot misurato per valori di corrente cha vanno da 0,05mA a 0,5mA. In blu viene rappresentato l’andamento teorico calcolato mediante la formula teorica :

Vrms = Rf * Irms dove Irms / √Bn = √2qI

Come si può vedere la corrispondenza tra i valori misurati e quelli calcolati secondo la teoria è buona.

Stima della Carica dell’Elettrone

Le misurazioni del rumore Shot possono essere utilizzate per determinare il valore della carica elettronica e. Nel grafico riportato sotto vengono presentati su scala logaritmica i dati delle misurazioni, insieme alla retta di regressione. Dalla pendenza della retta si può ricavare il valore della carica elettronica:

m = Rf√2e = 185 –> e= 1.83×10^-19 [C] contro il valore corretto di 1.602×10^-19 [C]

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