Rumore Termico, Costante di Boltzmann e Moto Browniano

Quando si progetta e si costruisce un apparato elettronico, soprattutto nel caso in cui sia necessario acquisire ed elaborare deboli segnali, in genere si seguono tutti gli accorgimenti al fine di eliminare o quanto meno ridurre il più possibile il rumore elettronico con lo scopo di massimizzare il rapporto segnale – rumore (S/N). Il rumore elettronico è quindi qualcosa di indesiderato che va ridotto se non totalmente eliminato.

In questo post ci occupiamo invece proprio del rumore elettronico, ed in particolare del rumore termico (Johnson noise) con lo scopo di misurarlo e studiarlo, mettendo in evidenza la natura statistica di questo tipo di rumore ed ottenere una stima della costante di Boltzmann K_b.

Il Rumore Termico (Johnson-Nyquist Noise)

Grazie ad attività sperimentali e a studi teorici (1928) condotti presso i laboratori della Bell, Johnson e Nyquist si resero conto che ai capi di un resistore con resistenza R, posto ad una temperatura T (in gradi Kelvin), si sviluppa una tensione aleatoria Vn(t) con valore efficace (Vrms) dato dall’espressione :

Vrms = √4K_bRTBn

Dove

• K_b: Costante di Boltzmann = 1.38×10^-23 [J/°K]
• R : Valore della Resistenza [Ω]
• T : Temperatura assoluta [°K]
• Bn : Banda equivalente del rumore [Hz]

La banda equivalente di rumore Bn è la larghezza spettrale usata per calcolare il valore quadratico medio della tensione di rumore, e in pratica è legata alla larghezza di banda del dispositivo usato per fare la misurazione.

Nella loro agitazione aleatoria gli elettroni interni ad un conduttore, considerati come cariche elettriche, generano delle correnti infinitesime senza una direzione privilegiata producendo ai capi del resistore, per la legge di Ohm, delle corrispondenti tensioni elementari aleatorie. L’effetto combinato di queste ultime, per il teorema del limite centrale, produce una tensione aleatoria con descrizione probabilistica dell’ampiezza di tipo gaussiana con un valor medio uguale a zero, proprio perché non c’è una direzione privilegiata delle correnti.

Per cui, nell’ipotesi di stazionarietà (costanza nel tempo della temperatura), indicando con Vn(t) la tensione di rumore termico, come conseguenza del teorema centrale limite, essa può essere interpretata come un segnale a media nulla, E{Vn(t)} = 0, e con ampiezza istantanea descritta dalla densità di probabilità gaussiana.

Il merito di Johnson, con la sua attività sperimentale, fu quello di individuare le proprietà della varianza σ² del rumore termico e cioè la:

• proporzionalità alla temperatura dell’ambiente in cui e’ immerso il resistore, da cui l’aggettivo termico;
• proporzionalità al valore R della resistenza; ƒ
• costanza dello spettro di densità di potenza nell’ambito delle frequenze usate dai sistemi reali.

Il merito di Nyquist, con i suoi studi sulla termodinamica e sulla meccanica quantistica, fu quello di confermare teoricamente quanto osservato da Johnson, ricavando l’espressione dello spettro di densità di potenza del rumore termico nelle condizioni di chiusura su un carico di resistenza unitaria.
Entro i limiti di frequenza nei quali rientrano tutti i sistemi di telecomunicazione, lo spettro di densità di potenza del rumore termico può essere considerato costante al variare della frequenza (per somiglianza con lo spettro della luce bianca si parla di rumore bianco).

I valori di tensione prodotti dal rumore Johnson sono estremamente bassi :
R=1kΩ       -> Vrms = 4nV/√Hz   -> 0,6μV per una banda di 20kHz
R=200kΩ -> Vrms = 58nV/√Hz -> 8μV per una banda di 20kHz

La misura diretta di questi valori di tensione pone tre problemi principali :

• è necessario disporre di una apparecchiatura in grado di fare misure all’interno del range dei μV
• è necessario che la capacità di input del sistema di misura sia molto bassa in modo da non creare, accoppiata alla resistenza che genera il rumore, una frequenza di taglio passa basso che limiti troppo le alte frequenza. Il valore possibilmente non dovrebbe superare i 5pF
• è necessario che il rumore elettronico proprio della apparecchiatura sia estremamente basso in modo da non coprire il rumore termico generato dal resistore

Apparecchiatura di Misura

Per ottenere le caratteristiche richieste, il sistema di misura del rumore che è stato adottato è basato su tre stadi :

• Stadio di ingresso con JFET a bassissima capacità di input (BF244);
• Stadio di pre-amplificazione con OP-AMP a bassissimo rumore (LT1028);
• Stadio di amplificazione con OP-AMP (LT1357)

Il sistema è basato sul progetto JCan dei Gellerlabs, descritto nel seguente articolo : jcan-nv-article.

Nella immagine riportata sotto viene presentato lo schema del circuito di amplificazione del rumore. Il resistore in misura viene posto tra i terminali Rut (Resistor under test). Tra i terminali Rp vi è la possibilità di inserire un secondo resistore (Resistor power), in modo da valutare il rumore elettronico anche in presenza di una corrente (shot noise + resistor noise). Il circuito di amplificazione viene alimentato da una coppia di batterie da 9V, in modo da fornire una tensione simmetrica e duale +9V e -9V priva di ripple. Il segnale di uscita amplificato viene prelevato dal teminale Vout.
Per eliminare i disturbi prodotti da interferenze RF, il circuito va posto all’interno di una scatola metallica, il segnale di uscita va prelevato su connettore BNC mediante cavo schermato ed i collegamenti filari vanno fatti più corti possibile per evitare che si comportino come “antenne”.

Nelle immagini sotto si vede l’amplificatore montato sul suo PCB e fissato al coperchio della scatola metallica, si notano il connettore BNC e le due batterie da 9V per l’alimentazione dell’amplificatore. Sulla sinistra del PCB ci sono i terminali per l’inserimento delle resistenze in test.

Calibrazione e Misure

Per la misura del segnale di uscita si può utilizzare un oscilloscopio con funzioni di misura su segnali AC, oppure un millivoltmetro come quello mostrato nella immagine sotto : si tratta di un millivoltmetro AC di precisione, modello HP 400 EL, con fondoscala di misura variabile da 1mV a 300V. Strumenti di questo tipo, usati, si trovano abbastanza facilmente ed a prezzo contenuto su eBay.
Al fine di ottenere il valore reale di Vrms la lettura di questo strumento va moltiplicata per un fattore pari a 1,13, questo perchè lo stumento è configurato per un segnale sinusoidale mentre nel caso del rumore termico il segnale è randomico.

Il circuito va poi calibrato in modo da determinare le sue caratteristiche operative. Per la calibrazione si può utilizzare il metodo descritto nell’articolo relativo al JCan. Questo metodo consiste nell’effettuare le misure del valore Vrms per una serie di resistori di valore noto, va inoltre misurato il livello base di rumore mettendo un corto circuito al posto del resistore, va inoltre annotata la temperatura ambientale. Questi dati vanno inseriti nel template excel disponibile nel sito Gellerlabs.
Vanno poi regolati i parametri guadagno (gain) e banda (bandwidth) in modo che i valori misurati corrispondano ai valori teorici. I calcoli tengono conto del livello base di rumore, della resistenza di ingresso dello stadio JFET e della temperatura ambientale.
Nello schema sotto riportato si vede il risultato per le misurazioni che abbiamo effettuato :
T = 20°C
Rinput jfet = 10MΩ
Noise base = 0,69mV
Gain = 2000 (parametro stimato)
BandWidth = 14000Hz (parametro stimato)

Nel grafico sotto riportato si può vedere, in verde, l’andamento del Vrms di rumore misurato per valori di resistenza cha vanno da 50Ω a 500kΩ. In blu viene rappresentato l’andamento teorico calcolato mediante la formula di Johnson-Nyquist :

Vrms / √Bn = √4KRT

Come si può vedere la corrispondenza è ottima. Per valori di resistenza elevati comincia a farsi sentire l’effetto della capacità di ingresso del circuito che fa sì che il valore misurato sia inferiore a quello teorico.

Come spiegato da Johnson e Nyquist il rumore termico generato da un resistore dipende dal valore della resistenza e dalla temperatura ma non dipende dalla tipologia del resistore o dal tipo di materiale di cui è composto il resistore, inoltre la densità di potenza è costante a tutte le frequenze (fino ad un certo limite superiore).
Per verificarlo abbiamo acquisito lo spettro in frequenza, riportato nella immagine mostrata sotto.

Dallo spettro FFT si vede come la densità di potenza rimane pressochè costante fino a 10-20kHz che corrisponde alla banda passante del nostro amplificatore. Il rumore Johnson è quindi un esempio di “White Noise“.

Stima della Costante di Boltzmann

Conoscendo la temperatura (espressa in °K) ed i valori di resistenza, le misurazioni del rumore Johnson possono essere utilizzate per determinare il valore della costante di Boltzmann K_b.
Nel grafico riportato sotto vengono presentati su scala logaritmica i dati delle misurazioni, insieme alla retta di regressione. Dalla pendenza della retta si può ricavare il valore della costante di Boltzmann :

m = √4K_bT = 3,98 da cui si ottiene K_b= 1.35×10^-23 [J/°K]

Ma qual’è la natura di questa costante K_b ? Ad esempio essa è legata alla conversione della temperatura in unità di energia : E = K_bT. Inoltre sappiamo che questa costante è la versione “microscopica” della costante dei gas R, come si può vedere esprimendo la legge dei gas ideali nei due seguenti modi equivalenti :

PV = nRT oppure PV = NK_bT

n = numero di moli del gas
N = numero di molecole del gas

Dalle relazioni scritte sopra appare evidente che R e K_b sono legate fra loro :

R = (N/n)K_b=N_AK_b

Dove N_A è il numero di Avogadro.

Possiamo quindi fare un parallelo tra il moto caotico delle particelle di un gas ideale e quello degli elettroni all’interno di un resistore, le cui fluttuazioni statistiche danno luogo ad una tensione ai morsetti del resistore così come il movimento delle particelle da luogo a fenomeni macroscopici misurabili come il moto browniano.

Il rumore termico di un resistore è quindi l’equivalente elettrico del moto browniano di una particella sospesa in un fluido e soggetta agli urti casuali della particelle.

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