Osservare la Quantizzazione della Conduttanza in un Normale Relè

Abstract : gli effetti quantistici sui processi fisici diventano evidenti solo quando la scala dimensionale del processo che stiamo studiando diventa paragonabile alla lunghezza d’onda di De Broglie λ = h/m*v dove m e v sono la massa e la velocità della particella materiale. Questa quantità dimensionale marca il “confine” tra la meccanica classica e la meccanica quantistica. Questo è anche il motivo che spiega la ragione che rende gli effetti quantistici rilevabili e misurabili soltanto nel mondo microscopico – o nanoscopico – mentre nell’ordinario mondo macroscopico questi effetti sono completamente cancellati. Questo rende difficile l’osservazione di questi fenomeni, ci sono però dei casi in cui anche in situazioni “normali” gli effetti quantistici possono essere osservati e la conduzione quantizzata è uno di questi.
In questo post descriviamo un apparato che ci permette di rilevare e misurare qualitativamente la conduzione quantizzata che si verifica nella fase di distacco nei contatti di un normale relè.

Introduzione

Esperimenti relativamente recenti (1988) hanno permesso di osservare sperimentalmente il fenomeno della quantizzazione della conduttanza che si manifesta in un conduttore unidimensionale nel quale il trasporto avviene in modalità cosiddetta “balistica“. Questo fenomeno avviene quando il conduttore ha dimensioni trasversali ridottissime dell’ordine dei nanometri, in queste condizioni il movimento degli elettroni può avvenire senza “scattering” ed è governato dalle leggi della meccanica quantistica.
In queste condizioni si osserva che la conduttanza è quantizzata in unità di G₀ = 2e²/h, dove e è la carica dell’elettrone e h è la costante di Planck. Il valore di questo “quanto” di conduttanza è 77.48 μS, corrispondenti ad una resistenza di circa 12.9 KΩ.

Come si può immaginare ottenere conduttori unidimensionali non è facile. Negli ultimi anni le tecniche litografiche della microelettronica e la nuova scienza dei nanomateriali hanno permesso di costruire nanofili e contatti a punti quantici che mostrano il comportamento descritto. Al di fuori dei laboratori è però difficile avere accesso a questa tecnologia, però, con un pò di creatività, si possono utilizzare equipaggiamenti standard con i quali ricreare situazioni fisiche nelle quali possono presentarsi fenomeni di conduzione in strutture mesoscopiche se non in veri e propri nanofili.

Un pò di Teoria …

Il modello classico della conduzione elettrica è semplice ma funziona molto bene in tutte le situazioni normali. Quando una differenza di potenziale V viene applicata ai capi di un filo, produce un campo elettrico E e una forza F che agisce sugli elettroni in una direzione opposta al campo. Pertanto, un elettrone viene accelerato nel tempo tra le collisioni da una forza F = m*a = -e*E e la sua velocità, dopo un tempo t dallo scattering, è data da v₁ = v₀ + e*E*t/m, dove v₀ è la velocità dell’elettrone subito dopo essere stato disperso. Quando viene calcolata la media nel tempo tra le collisioni, si ottiene la seguente velocità di deriva :

v_d = e*E*τ/m

Dove τ è il tempo medio tra le collisioni.
La corrente elettrica in un filo avente area della sezione trasversale pari ad A, è data dalla carica totale che passa un dato punto ogni secondo. Se n è la densità numerica degli elettroni liberi nel metallo, la corrente è data dalle seguenti formule :

Sostituendo v_d dalla equazione precedente otteniamo la usuale legge di Ohm :

J = I/A = e²*n*E*τ/m = σ*E

dove J è la densità di corrente e σ = e²*n*τ/m è la conduttività, una proprietà intrinseca del materiale che non dipende dalla sua geometria. La conduttanza G=I/V di un filo di lunghezza L è data da G = σ*A/L. Questo modello, come detto sopra, funziona bene e può essere ulteriormente migliorato sostituendo v_d con v_f (velocità di fermi).

Questo modello fallisce quando il raggio del filo viene ridotto di dimensione e scende alla scala atomica dei nanometri, paragonabile alla lunghezza d’onda di de Broglie degli elettroni sulla superficie di Fermi. A questo punto, è necessario un approccio quanto-meccanico per comprendere il comportamento del sistema.
Un filo con dimensioni trasversali dell’ordine del nanometro può essere, in prima approssimazione, modellato come una buca di potenziale di dimensione L, dove L corrisponde alla lunghezza del filo. In queste condizioni possiamo risolvere l’equazione di Schrodinger e ricavare la funzione d’onda dell’elettrone. La soluzione è mostrata nella figura sotto, nella quale sono indicati anche i livelli quantizzati di energia.

Dalla equazione che ci dà l’energia del livello n possiamo ricavare la relazione inversa :

n = E^1/2*L/h*2√2m

La relazione sopra ci dà anche il numero di stati aventi energia minore di E. Derivando questa ultima equazione otteniamo la densità degli stati dn/dE :

dn/de = L√2m / h√E

Sapendo che E=mv²/2 e sostituendo nella precedente relazione otteniamo :

dn/de =2L/hv

Ed in particolare dn/de = 2L/hv_f per gli stati corrispondenti al livello di fermi.

A questo punto possiamo provare a determinare la corrente che circola in questo filo unidimensionale. Ai capi del filo sono presenti i contatti che forniscono un “serbatoio” di portatori di carica. Ai capi del filo viene applicata una differenza di potenziale V. Il conseguente incremento di energia, eV, ci permette di determinare il numero dei livelli energetici coinvolti nel trasporto delle cariche.
L’immagine sotto mostra la situazione dei livelli di energia.

Il numero di portatori (per unità di lunghezza) che conducono la corrente è dato da :

N= n/L = (dn/de)*E/L = 2E/hv_f ma E = eV -> N = 2eV/hv_f

Sapendo che la corrente I è data da I =Nev_f sostituendo il valore di N otteniamo :

I =Nev_f = (2eV/hv_f)ev_f = (2e²/h)*V -> G₀ = 2e²/h

Otteniamo quindi una formula per determinare il “quanto” della conduttanza :

G₀ = 2e²/h = 77.48 μS = 1/12.9 KΩ

Nel caso reale il nanofilo può essere modellato come un insieme n di fili unidimensionali, in parallelo fra loro, per cui le conduttanze si sommano :

G = n*G₀ = n*2e²/h

Setup Sperimentale

I nanofili non sono facilmente reperibili per un laboratorio amatoriale come è quello di PhysicsOpenLab. Un “surrogato” temporaneo di un nanofilo si può però ottenere nel momento della apertura di un normale contatto come è quello di un relè. Infatti nel momento della apertura del contatto si possono formare dei “ponti”, costituiti da nanofili, tra le due lamine in separazione, come illustrato nel disegno seguente.

Il relè è inserito in un circuito che ha lo scopo di misurare la corrente che attraversa il contatto del relè. In pratica il contatto del relè viene inserito in un circuito alimentato a tensione molto bassa : 10 – 20 mV. Questo viene ottenuto semplicemente con un partitore di tensione. La corrente che attraversa il relè viene inviata ad un amplificatore che provvede a produrre un segnale di uscita proporzionale alla corrente. Il circuito è mostrato nello schema seguente. La resistenza di feedback è di 100 KΩ, la capacità di feedback da 5 pF serve ad eliminare oscillazioni indesiderate.

Dallo schema sopra possiamo ricavare che :

Vout = -Vin*R2/R1 = -VinG1R2

Dove G1 è la conduttanza del contatto del relè. Quando il contatto è chiuso la conduttanza è infinita, mentre quando il contatto è aperto la conduttanza è nulla. L’andamento ideale nel tempo è quello mostrato nel grafico sotto a sinistra, nella realtà si formano dei nano-contatti per cui la conduttanza decresce con una serie di gradini ΔG corrispondenti a multipli del quanto di conduttanza G₀, come si vede nel grafico di destra.

ΔG  = n G₀

Se la conduttanza ha un andamento a gradini, ne consegue che anche la Vout deve seguire un andamento a gradini nella transizione tra +Vcc (contatto chiuso) e 0 (contatto aperto), con ampiezza dei gradini pari a :

ΔVout = -VinΔG1R2 = -VinR2 * nG₀

Per Vin = 10 mV -> ΔVout = 77.5 mV
Per Vin = 20 mV -> ΔVout = 155 mV

L’immagine sotto mostra il setup sperimentale, con il partitore di tensione, il relè con il pulsante di eccitazione del relè e l’amplificatore del segnale.

Dati e Misure

Con un oscilloscopio digitale abbiamo acquisito una serie di tracciati nei quali si può apprezzare l’andamento a scalini del segnale Vout, come previsto dalla teoria. Le misure sono state fatte per due valori della Vin : 10 mV e 20 mV.
Anche se il nostro setup sperimentale non ci ha permesso però di fare delle precise misure quantitative, i tracciati mostrano chiaramente l’andamento discontinuo con valori dei gradini compatibili con la previsioni della teoria.

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