Il Caos Deterministico

Introduzione

(da ScienzaInRete) Oggi, almeno per i matematici e i fisici, la parola caos ha un significato piuttosto preciso e deterministico. Il caos, anzi il caos deterministico, è la scienza che studia i grandi effetti provocati da piccole cause. O, in termini più rigorosi, è la scienza che studia la dinamica dei sistemi non lineari e, comunque, dei sistemi divergenti. Sistemi così sensibili alle condizioni iniziali che la loro evoluzione nel tempo (almeno in un tempo medio-lungo) risulta, di fatto, imprevedibile.
Il caos deterministico, è, a ragione o a torto, uno dei protagonisti della storia scientifica e culturale degli ultimi decenni. Almeno da quando, nella seconda parte del secolo, si è imposto come una disciplina fisico-matematica di successo, che ha prodotto risultati, teorici e applicativi, notevoli.

Uno dei primi esempi di caos deterministico è il cosidetto “effetto farfalla” scoperto dal meteorologo Edward Lorenz. L’ignaro studioso si accorge che basta modificare di un decimillesimo il valore di uno solo dei tanti parametri che descrivono un sistema meteorologico relativamente semplice, perchè il computer in breve tempo fornisca un’evoluzione delle condizioni del tempo del tutto diversa e inattesa.
Basta cioè modificare leggermente le condizioni iniziali del sistema, perchè la sua evoluzione diverga.

Quella di Lorenz è stata, in realtà, una riscoperta, perchè anche nel passato l’esistenza dei sistemi instabili era ben conosciuta anche ai padri della meccanica classica.

I sistemi complessi e non lineari sono, in realtà, la norma nella realtà che ci circonda : il moto dell’acqua in un fiume, il flusso delle correnti atmosferiche, il moto dei pianeti, le oscillazioni di un pendolo, l’andamento dei prezzi delle azioni nei mercati finanziari, sono tutti esempi di sistemi complessi governati dalle leggi del caos.

In questo post vogliamo mostrare come anche un semplice circuito composto da induttanza, diodo e resistenza costituisca un sistema complesso non lineare e come emergano facilmente caratteritiche tipiche dei sistemi caotici, come le biforcazioni ed il coefficiente di Fiegenbaum.

Il Caos

Nel contesto dei sistemi dinamici non lineari, il termine caos viene usato per descrivere il comportamento temporale di un sistema che è aperiodico ed è apparentemente casuale o “rumoroso”. Ma alla base di questa casualità caotica si trova un ordine che può essere determinato, in un certo senso, dalle equazioni di evoluzione temporale che descrivono il sistema. Anche quando può sembrare paradossale, un sistema apparentemente casuale è in realtà deterministico.

Solitamente, il comportamento caotico non compare senza prima dare dei segnali “premonitori”. Generalmente, tutto inizia con una cosiddetta biforcazione periodica : il sistema passa ad un nuovo comportamento, con periodo doppio rispetto al sistema originale, in corrispondenza ad un particolare valore di un determinato parametro. Man mano che il valore di quel parametro aumenta ulteriormente, si verificano biforcazioni successive e il comportamento del sistema presenta un periodo di quattro volte, poi otto volte e così via, che termina infine in un comportamento caotico.

Questo comportamento di un sistema dinamico sull’intero intervallo di un particolare parametro è il cosìdetto diagramma di biforcazione, come illustrato nell’immagine a lato. Il diagramma mostra una corrispondenza tra i valori del parametro e la risposta risultante del sistema. Ogni biforcazione indica un raddoppio del periodo e la risposta si dirama in due. Nella figura, quando il parametro di controllo λ viene variato su un certo intervallo, la risposta x assume un numero diverso di valori: due valori alla prima biforcazione, quattro valori alla seconda biforcazione, otto valori alla terza biforcazione e così via. Le bande sfocate nella immagine indicano un comportamento caotico.
Quando guardiamo un diagramma di biforcazione, come quello mostrato in figura, possiamo vedere che le distanze tra le successive biforcazioni diventano sempre più piccole  (lungo l’asse orizzontale).
Questo è ciò che Fiegenbaum ha notato: il rapporto tra le differenze dei valori dei parametri in corrispondenza delle quali si verificano le biforcazioni successive è lo stesso per tutte le suddivisioni. Matematicamente :
Dove λn è il parametro al quale si verifica la biforcazione n-esima. Inoltre, quando n si avvicina all’infinito, questo rapporto converge verso un particolare valore chiamato costante di Fiegenbaum : δ = 4.669201 . . .
Questa costante indica un’equivalenza universale e quantitativa tra sistemi fisici apparentemente molto diversi fra loro.

Il Circuito Induttanza – Diodo – Resistenza

Un semplice circuito diodo-R-L è stato oggetto di questo esperimento. Sebbene sia un sistema semplice, mostra un comportamento interessante che include biforcazioni e caos. Verrà utilizzata una disposizione in serie come mostrato nella figura seguente.Il circuito nella figura sopra si comporterà in due modi diversi: nel primo modo quando il diodo è polarizzato direttamente, nell’altro modo quando è polarizzato inversamente.

Il segnale applicato è una forma d’onda sinusoidale: Vsin (ωt) e la corrente nel circuito può essere facilmente calcolata in entrambe le modalità. Tuttavia, dobbiamo tenere conto di un parametro importante: il tempo di recupero del diodo. Il tempo di recupero di un diodo è il tempo impiegato da un diodo per arrestare completamente il flusso di corrente diretta che lo attraversa mentre si sposta nel ciclo non conduttivo. Questo tempo dipende dal valore massimo della corrente diretta che è appena passata attraverso il diodo. Maggiore è la corrente diretta di picco, più lungo è il tempo di recupero del diodo.
Nella immagine sotto possiamo vedere il circuito che abbiamo utilizzato nell’esperimento.

I parametri del nostro circuito sono i seguenti :

• L = 14.16 mH
• R = 47 Ω

Si comincia alimentando il circuito con un segnale sinusoidale di bassa ampiezza e bassa frequenza e contemporaneamente si misura con l’oscilloscopio il segnale ai capi dei diodo, si aumenta progressivamente la frequenza del segnale di ingresso fino a trovare il valore per il quale il segnale sul diodo è massimo : questa è la frequenza di risonanza del circuito e ci permette di determinare la capacità di giunzione del diodo. Le successive misure verranno fatte utilizzando sempre questa frequenza.

• f = 1/2π√LC = 60 KHz
• C = 3.1 nF

Il grafico sotto rappresenta l’andamento della corrente nel circuito (in blu) e l’andamento della tensione ai capi del diodo (in giallo) a fronte di un segnale di ingresso sinusoidale di periodo T. Si vede come la tensione sul diodo, e la corrente, hanno periodo 2T, questo è essenzialmente dovuto al tempo di recupero del diodo con il suo comportamento non lineare.

Biforcazioni

Se l’ampiezza del segnale d’ingresso è inferiore ad un certo valore, la tensione ai capi del diodo segue lo stesso andamento del segnale d’ingresso. Aumentando la tensione di ingresso la tensione ai capi del diodo si “sdoppia”, assume una periodicità doppia : questa è la prima biforcazione. Aumentando ulteriormente l’ampiezza del segnale vi sono successive biforcazioni fino a raggiungere un comportamento caotico. Le misure fatte sul nostro circuito hanno portato ai seguenti valori :

• Prima biforcazione V1 = 1.8 V
• Seconda biforcazione V2 = 2.5 V
• Terza biforcazione V3 = 2.7 V
• Caos = 3 V

L’immagine sotto mostra i diagrammi con il segnale d’ingresso (in blu) e con la tensione ai capi del diodo (in giallo). La prima immagine mostra la situazione prima della biforcazione, la seconda immagine invece dopo la prima biforcazione. La terza immagine mostra la situazione dopo la seconda biforcazione, con una periodicità di 4T, mentre l’ultima immagine mostra la situazione in regime di caos.

Lo Spazio delle Fasi

La nozione di spazio degli stati (o spazio delle fasi) è un argomento molto ricco. In uno spazio delle fasi vengono mostrate le variabili di stato, cioè le variabili che rappresentano lo stato del sistema. Di solito queste variabili sono variabili coniugate (come le variabili di posizione e di impulso del sistema) come le coordinate canoniche per una rappresentazione spaziale dello stato.
Quindi, per un sistema periodico che obbedisce alla legge della conservazione energetica (ad esempio un pendolo), il diagramma dello spazio degli stati (spazio delle fase) sarà un ciclo chiuso per un particolare set di condizioni iniziali. Per un sistema caotico, ci saranno molti anelli distinti in uno spazio delle fasi, mostrando che il sistema è aperiodico e non si avvicina a una traiettoria stabile.

Con il nostro circuito questo si può visualizzare facilmente con l’oscilloscopio, usando la visualizzazione X-Y del segnale d’ingresso e del segnale ai capi del diodo. L’immagine sotto mostra il sistema prima e dopo la prima biforcazione.

Lo Spettro di Fourier

Un modo alternativo di analisi del sistema è il dominio delle frequenze (fourier). Le immagini sotto mostrano lo spettro delle frequenze del segnale sul diodo prima e dopo la biforcazione. Prima della biforcazione c’è solo il picco principale a 60 KHz, dopo la biforcazione compare anche il picco a frequenza dimezzata che corrisponde ad un periodo 2T.

Quando sopraggiunge il caos lo spettro di Fourier tende a mostrare un insieme di picchi su molti valori di frequenze, come mostrato nella immagine sotto.

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