Misura del decadimento del muone con Red Pitaya

Abstract: in questo articolo presentiamo il progetto di un rilevatore di raggi cosmici basato su scintillatore plastico e fotomoltiplicatore. Gli impulsi prodotti dalla interazione dei raggi cosmici vengono acquisiti mediante il microcomputer Red Pitaya. L’elevato sample rate del redpitaya e la possibilità della successiva elaborazione software degli impulsi acquisiti rendono possibile la misurazione del tempo di decadimento dei muoni che si arrestano all’interno dello scintillatore.

Introduzione

Il progetto che proponiamo in questo lavoro, descritto in parte anche in post precedenti già presenti su questo sito, consiste in un rilevatore di raggi cosmici basato su scintillatore plastico accoppiato ad un fotomoltiplicatore. Progetti sulla rilevazione dei raggi cosmici sono già apparsi numerose volte nella letteratura scientifica dedicata alle attività didattiche, citiamo in particolare il prodotto commerciale della TeachSpin, al quale ci siamo ispirati. Il nostro progetto però si differenzia in quanto è stato seguito un approccio basato soprattutto sulla autocostruzione e sull’utilizzo di tecnologie open, facilmente disponibili e a basso costo. L’elettronica di lettura è limitata ad un amplificatore a transimpedenza seguito opzionalmente da un comparatore veloce. La principale novità è costituita dalla acquisizione del segnale impulsivo che viene fatta dal microcomputer Red Pitaya che acquisisce i segnali e ne fa la successiva elaborazione per la registrazione e la visualizzazione. Il redpitaya, con il suo sample rate a 125 Ms/s e l’ADC a 14 bit permette una buona precisione temporale nella acquisizione degli impulsi e questo rende possibile anche alla misura del tempo di decadimento dei muoni rilevati dall’apparato che si arrestano nello scintillatore e decadono al suo interno.
I componenti utilizzati sono tutti low cost, open source e, se possibile, autocostruiti. L’unico componente che non può essere autocostruito è la sonda del rilevatore, costituita da uno scintillatore plastico accoppiato ad un fotomoltiplicatore. Vi è però la possibilità di reperire facilmente ed a costi contenuti sia lo scintillatore che il fotomoltiplicatore sul mercato online del surplus.

Cenni Teorici e Storici

Il leptone μ (muone), componente principale dei raggi cosmici secondari, è una particella elementare a spin 1/2 e massa pari a 105,65 MeV e vita media di circa 2,2 μs. I muoni sono prodotti nell’alta atmosfera principalmente dal decadimento di particelle π, a loro volta create dalle collisioni dei raggi cosmici primari con i nuclei dei gas atmosferici. Al momento della produzione essi sono caratterizzati da velocità relativistiche e per via del fenomeno della dilatazione temporale riescono a giungere fino al livello del mare. Il muone è stata la prima particella elementare ad essere trovata instabile, cioè soggetta al decadimento in altre particelle. Al tempo dei primi pionieristici esperimenti di Bruno Rossi, Franco Rasetti e altri le sole altre particelle fondamentali note erano il fotone, l’elettrone, il positrone, i protoni, i neutroni ed il neutrino. Da allora dozzine di particelle ed antiparticelle sono state scoperte e la maggior parte di esse è instabile. In effetti di tutte le particelle che sono state osservate come entità isolate le uniche che vivono più a lungo dei muoni sono i fotoni, gli elettroni, i protoni, i neutroni, i neutrini e le loro antiparticelle. Anche il neutrone, quando è libero, è sottoposto al decadimento beta con una vita media di 15 minuti.
È noto che il muone decade in un elettrone, un neutrino muonico ed un antineutrino elettronico, come mostrato in fig. 1.

Figura 1 – Schema del decadimento del Muone in un Elettrone e due Neutrini

I tempi del decadimento del muone si descrivono matematicamente in maniera semplice. Supponiamo di avere all’istante t un numero N(t) di muoni. Se la probabilità che un muone decada in un piccolo intervallo temporale dt vale λdt, dove λ è la costante che caratterizza la rapidità di decadimento del muone, allora τ = 1/λ è la costante di tempo del decadimento ed il numero dei muoni diminuisce nel tempo con la legge esponenziale:

N(t) = N₀e^(-λt)

N(t) è il numero di muoni ancora esistenti all’istante di tempo t
N₀ è il numero di muoni all’istante t = 0
La “vita media” τ del muone è il reciproco di λ, τ = 1/ λ

Noi però non abbiamo un gruppo di muoni del quale misurare il tasso di diminuzione in seguito al decadimento. Invece rileviamo il decadimento muonico a partire dai muoni che entrano nel rivelatore essenzialmente ad istanti casuali, tipicamente uno per volta. Anche in questo caso comunque la distribuzione del tempo di decadimento ha un semplice andamento esponenziale dello stesso tipo descritto dalla relazione. Dato che il tempo di decadimento è distribuito con legge esponenziale non è importante che il muone del quale registriamo il decadimento sia stato prodotto nel rivelatore piuttosto che nell’alta atmosfera: infatti una funzione esponenziale appare sempre la stessa sia che venga esaminata nei primi o negli ultimi istanti, la sua “forma esponenziale” non cambia nel tempo.

Metodo di Misura del Tempo di Decadimento

Il rilevatore, costituito da scintillatore plastico e PMT è schematizzato in fig. 2. Il rilevatore produce molti segnali impulsivi ogni secondo. Molti di questi segnali sono dovuti al rumore elettronico del dispositivo stesso ed alla radioattività ambientale, questi segnali vengono filtrati dalla elettronica di lettura come verrà spiegato nel paragrafo che descrive l’apparato sperimentale. I segnali rimanenti sono nella maggior parte dovuti ai muoni che attraversano da parte a parte il cristallo scintillatore e vengono rilevati e conteggiati dal nostro apparato. Ma la frazione più interessante di questi eventi è quella dovuta ai muoni che entrano nello scintillatore con energia cinetica molto minore del valore medio. Questi muoni perdono la loro energia, cedendola allo scintillatore, in quantità sufficiente a far sì che vengano completamente arrestati all’interno del cristallo stesso. Arrestandosi, depositano nello scintillatore l’ultima parte della loro energia cinetica, che tipicamente vale, per il materiale di cui è composto lo scintillatore, circa 40 MeV. Questo processo di rallentamento genera quindi un primo impulso luminoso che viene rilevato dal PMT.

Figura 2 – Schema che mostra la generazione di due impulsi luminosi (frecce azzurre e frecce verdi) usati nella determinazione della vita media muonica. Il primo impulso di luce proviene dal muone rallentato (linea tratteggiata) mentre il secondo proviene dall’elettrone prodotto dal decadimento (linea ondulata)

I muoni che si arrestano nello scintillatore, vi rimangono ancora per un tempo relativamente lungo, dell’ordine di microsecondi. Ciascuno di essi decade in un elettrone (un positrone se si tratta di un antimuone) più un neutrino ed un antineutrino. Tutta l’energia a riposo del muone (106 MeV) appare come energia cinetica delle tre particelle. Mediamente, l’elettrone (o il positrone) riceve un terzo di questa energia, circa 35 MeV, mentre ai due neutrini rimane l’energia restante, ma i neutrini non sono rilevabili dal nostro strumento. Invece l’elettrone, essendo una particella carica, causa ionizzazione durante il suo movimento all’interno dello scintillatore, producendo così un secondo impulso luminoso. Anche questo secondo impulso di luce viene rilevato dal PMT e viene utilizzato per misurare l’intervallo temporale tra i due impulsi. La distribuzione degli intervalli temporali tra due successivi impulsi per un insieme di decadimenti muonici è la grandezza fisica che ci interessa per la misura del tempo di decadimento.

Apparato sperimentale

L’apparato sperimentale è essenzialmente costituito da un rilevatore a scintillazione, da una elettronica che effettua l’amplificazione degli impulsi prodotti dal PMT e da un microcomputer redpitaya che registra gli impulsi, ne fa il conteggio e misura l’intervallo temporale fra due impulsi successivi. I dati vengono poi elaborati con il tool ROOT per il fitting e la visualizzazione.

Fotomoltiplicatore e Cristallo Plastico Scintillatore

Per ottimizzare l’efficienza nella rilevazione dei muoni è stato scelto lo scintillatore plastico BC412, abbastanza economico e facilmente reperibile. Questo scintillatore è particolarmente adatto a rilevare particelle cariche come muoni o elettroni. Le misure del nostro cristallo, mostrato in fig. 3, sono 114 mm di spessore e 119 mm² di superfice. Il materiale base dello scintillatore è il poliviniltoluene, avente densità r = 1,023 g/cm² e caratterizzato da emissione luminosa compresa tra 400 nm e 520 nm con il massimo a 434 nm. La durata dell’impulso luminoso generato dal BC412 (FWHM) è di 4,2 ns, sufficientemente corta da non influenzare la successiva lettura con il PMT. Le caratteristiche dello scintillatore sono riportate nella tabella I.

Sulla base dei dati di letteratura, per energie muoniche dell’ordine di 100 MeV, lo stopping power del materiale è stimato in circa 3 MeV/cm. Considerando lo spessore del cristallo ed una traiettoria verticale del muone – o anche leggermente inclinata – si ottiene una perdita di energia totale di 35 – 40 MeV. La resa quantica dello scintillatore plastico BC412 è di 11400 fotoni/MeV da cui si ricava che un impulso luminoso prodotto da un muone è costituito da 300000 – 400000 fotoni. Gli impulsi luminosi prodotti dagli elettroni generati dal decadimento hanno lo stesso ordine di grandezza. Si tratta di valori molto elevati che, quando vengono registrati dal PMT, producono impulsi di ampiezza cospicua.

Scintillatore Plastico Bicron BC412 – www.ebay.it/itm/Bicron-BC412-Round-Scintillator-Plastic-for-1-1-2-inch-PMT-detectors-1-6-X2-25-/253211792569 – Costo eBay circa 40 €

Caratteristiche dello scintillatore
Tipo	BC412
Materiale	Poliviniltoluene
Dimensioni	114 mm x 119 mm2
Densità r	1,023 g/cm3
Spettro di emissione	400 nm – 520 nm
Massimo di emissione	434 nm
Durata impulso (FWHM)	4,2 ns
Resa quantica	11400 photons/MeV
Stopping power a 100 MeV	~3 MeV/cm

Tabella I – Caratteristiche dello scintillatore

Figura 3 – Scintillatore plastico

Il tubo fotomoltiplicatore è il modello R6233 della Hamamatsu. Si tratta di un PMT general purpose, con fotocatodo di tipo Bialkali da 76 mm di diametro. Sensibile alla luce da 300 nm a 650 nm con picco di sensibilità a 420 nm. Questo PMT non è particolarmente veloce, il tempo di risposta è di 9,5 ns ed il tempo di transito è di 52 ns, ci aspettiamo quindi che gli impulsi prodotti dal PMT abbiano una durata di circa 50 ns, che è comunque sufficientemente ridotta da non inficiare la precisione temporale della acquisizione degli impulsi. Le caratteristiche del fotomoltipicatore sono riportate nella tabella II.

Fotomoltiplicatore Hamamatsu R6233 – www.ebay.it/itm/261922622140 – costo eBay circa 200 €

Caratteristiche del fotomoltiplicatore
Modello	R6233 Hamamatsu
Fotocatodo	Bialkali
Diametro fotocatodo	76 mm
Spettro di sensibilità	300 nm – 650 nm
Massimo di sensibilità	420 nm
Tempo di risposta	9,5 ns
Tempo di transito	50 ns

Tabella II – Caratteristiche del fotomoltiplicatore

Il fotomoltiplicatore viene completato dal partitore resistivo sui dinodi. Il PMT viene accoppiato allo scintillatore con un grasso siliconico che serve a garantire il perfetto accoppiamento tra gli indici di rifrazione dello scintillatore e del vetro borosilicato del PMT, in modo da evitare riflessioni dalle superfici di contatto. Lo scintillatore viene successivamente rivestito con nastro di teflon bianco che riflette verso l’interno anche la frazione di luce che altrimenti uscirebbe dal cristallo senza raggiungere il fotomoltiplicatore, questo permette di aumentare l’efficienza di rilevazione. Il tutto va poi rivestito con una guaina scura opaca, ad esempio una guaina termorestringente, in modo da evitare che la luce ambientale raggiunga il PMT, come mostrato in fig. 4.

Figura 4 – PMT accoppiato allo scintillatore

Il tubo fotomoltiplicatore viene alimentato da un circuito HV di alta tensione basato sul PMT adapter Theremino. Il tutto viene collocato all’interno di un contenitore metallico, al riparo dalla luce ambientale, come mostrato in fig. 5. Il segnale impulsivo viene prelevato con un condensatore di accoppiamento che ha lo scopo di isolare la linea di alta tensione dalla linea del segnale. L’alimentazione del circuito HV avviene attraverso una normale tensione di 5 V.

Figura 5 –  Detector ultimato

Elettronica di lettura

Gli impulsi prodotti dal PMT vengono inviati ad una catena di trattamento del segnale costituita da:

• Amplificatore a transimpedenza;
• Comparatore veloce;

L’impulso di corrente (di polarità negativa) generato dal PMT è inviato ad un circuito amplificatore a transimpedenza (TIA) (fig. 6), che converte l’impulso di corrente in un impulso di tensione. L’amplificatore operazionale utilizzato deve essere molto veloce al fine di mantenere inalterata la forma del segnale originale prodotto dal PMT. Per questo motivo abbiamo scelto l’amplificatore operazionale OPA354 di TI che garantisce un fronte di salita di soli 2 ns. Il segnale prodotto in uscita dall’amplificatore è invertito rispetto all’ingresso, in modo da ottenere un segnale con escursione positiva dal livello GND fino ad un livello massimo di circa 2 V.

Figura 6 – Schema dell’amplificatore TIA

Il segnale amplificato viene inviato ad un comparatore veloce con isteresi (fig. 7) realizzato con il chip LT1016 della Analog Devices che garantisce tempi di commutazione di soli 10 ns. Il comparatore, a soglia regolabile, ha lo scopo di produrre un segnale impulsivo squadrato in corrispondenza degli impulsi generati dal PMT. Agendo sulla soglia del comparatore è semplice selezionare solo gli impulsi generati dai muoni ed escludere il “rumore” prodotto dalla radioattività ambientale, questo perché i muoni generano impulsi piuttosto alti mentre gli impulsi prodotti dalla radioattività ambientale di fondo rimangono sempre al di sotto di 100 – 200 mV. La soglia è stata configurata a 200 mV. Con questo valore di soglia otteniamo una frequenza di conteggio, dovuta alla sola rilevazione dei muoni, di circa 5 – 7 impulsi al secondo, corrispondente a 250 – 300 CPM (conteggi per minuto).

Figura 7 – Schema del comparatore veloce

L’elettronica di lettura, realizzata su basette prototipali, è stata collocata in un contenitore di alluminio, mostrato nelle fig. 8 e fig. 9. All’esterno vengono rese disponibili due uscite su connettore BNC: il segnale amplificato ed il segnale prodotto dal comparatore veloce. Inoltre vi è il potenziometro di regolazione della soglia del comparatore ed un ulteriore connettore BNC per la misura del valore di soglia impostato.

Figura 8 – Vista interna dell’elettronica

Figura 9 – Apparato completo con detector e scheda redpitaya

Scheda di acquisizione Red Pitaya

Per l’acquisizione ed elaborazione degli impulsi abbiamo deciso di utilizzare la scheda Red Pitaya. Questa scheda elettronica è un microcomputer linux e dispone di due ingressi analogici RF da 125 MS/s e due uscite analogiche RF da 125 MS/s, con larghezza di banda analogica di 50 MHz.  Gli I/O analogici sono accoppiati a convertitori analogico-digitale (ADC) e digitale-analogico a 14 bit. Il software precaricato include svariate applicazioni, tra le quali oscilloscopio, analizzatore di spettro e generatore di segnale. Il plus della scheda è che può essere riprogrammata dall’utente anche per fare altre cose, poiché tutte le porte IO sono collegate ad un FPGA comune. La fig. 10 mostra la scheda con le sue interfacce, mentre in fig.11 mostriamo come uno degli ingressi analogici della scheda sia collegato alla uscita dall’amplificatore, al fine di acquisire il segnale impulsivo prodotto dalla rilevazione del muone nello scintillatore.

Figura 10 – Dettagli della scheda Red Pitaya

Figura 11 – Scheda redpitaya di acquisizione collegata all’amplificatore del segnale

Analisi degli impulsi

In fig.12 mostriamo gli impulsi tipici prodotti dal PMT e dalla elettronica di lettura. Gli impulsi prodotti dal PMT hanno ampiezza maggiore di 200 mv e durata (FWHM) di 40 ns. Dopo l’amplificatore a transimpedenza l’impulso ha ampiezza di 1–2 V e medesima durata temporale. In fig.13 viene mostrato un tipico impulso acquisito dalla scheda Red Pitaya. Il livello di trigger va impostato ad un livello abbastanza alto in modo da escludere tutti gli impulsi spuri di ampiezza minore dovuti ad esempio alla radioattività ambientale e gli impulsi causati dal rumore del dispositivo. In questo modo verranno acquisiti soltanto gli impulsi prodotti dalle vere interazione dei muoni con lo scintillatore.

Figura 12 – Impulso PMT (in verde) e impulso dopo amplificazione (in giallo)

Gli impulsi che ci interessano hanno ampiezza abbastanza elevata (>100mV), quindi sono facilmente distinguibili rispetto a tutti gli altri che hanno ampiezza minore.  Gli impulsi ai quali siamo interessati, come spiegato nei paragrafi precedenti, sono però quelli che vengono prodotti dal decadimento di un muone all’interno dello scintillatore. Questi eventi si riconoscono perchè sono caratterizzati da due impulsi separati da un breve intervallo temporale (dell’ordine dei microsecondi), come mostrato in fig.14. Il primo impulso corrisponde alla interazione del muone, mentre il secondo viene prodotto dall’elettrone/positrone prodotto nel decadimento del muone. L’ampiezza del secondo impulso, anche se un pò minore, è comunque dello stesso ordine di grandezza del primo.

Figura 13 – Impulso acquisito dalla scheda Red Pitaya

Figura 14 – Esempi di impulsi provocati dal passaggio di un muone e dal successivo suo decadimento in un elettrone. L’elettrone ha elevata energia cinetica e quindi lascia una traccia di ampiezza simile a quella del muone. Nel primo caso l’intervallo temporale è di circa 1600ns, nel secondo caso di circa 5600ns.

Acquisizione ed elaborazione dati

Per l’acquisizione degli eventi di interesse e per l’estrazione dell’intervallo temporale tra i due impulsi abbiamo scritto un software C che utilizza le API Red Pitaya. In pratica viene acquisito il campione digitalizzato proveniente dall’ingresso analogico. Questo campione è costituito da un vettore di 16K valori, che corrispondono ai valori del segnale campionato dal ADC. Il vettore di valori viene scansionato alla ricerca degli impulsi e, nel caso in cui si trovi una coppia di impulsi compatibile con il range delle ampiezze attese, viene misurato e registrato l’intervallo temporale che separa i due impulsi. L’apparato è rimasto in “presa dati” per molti giorni in modo da accumulare un discreto numero di eventi.

I dati sono stati successivamente elaborati con ROOT, con il quale abbiamo costruito gli istogrammi della distribuzione degli intervalli temporali e determinato i parametri di fitting con una funzione esponenziale. I grafici, in scala lineare e semi-logaritmica sono mostrati in fig.15 e fig.16.
Il tempo massimo acquisito è 20 μsec. L’intervallo temporale 0 – 20 μsec viene suddiviso in 200 bin, ognuno dei quali ampio 0.1 μsec, i primi 2 bin (0.2 μsec) sono stati esclusi perchè intervalli temporali così brevi sono affetti da incertezza maggiore. Il numero totale degli eventi registrati è di 10024 eventi.
Sulla base di questi dati è stata determinata la funzione esponenziale che meglio si adatta ai dati raccolti. Nella funzione di fitting è stato inserito anche un offset in modo da tenere conto degli eventi temporalmente vicini ma non correlati fra loro.

f(x) = off + amp x e^-t/τ

Dal fitting dei dati si ricava il tempo di vita del muone che vale :

τ = 2.100 ± 0.027 μsec

Figura 15 – Istogramma in scala lineare degli intervalli temporali e fitting esponenziale

Figura 16 – Istogramma in scala logaritmica degli intervalli temporali e fitting esponenziale

Muoni o Antimuoni ?

I muoni che rileviamo e di cui misuriamo il tempo di vita, possono in realtà presentarsi sia come muoni (carichi negativamente) che come antimuoni (carichi positivamente). I muoni che rallentano e si fermano nello scintillatore possono legarsi ai nuclei più o meno come fanno gli elettroni. Infatti, dato che il muone non è un elettrone, il principio di esclusione di Pauli non impedisce che esso occupi un orbitale atomico già occupato da un elettrone. Questi muoni legati possono successivamente interagire con i protoni dei nuclei, producendo un neutrone e un neutrino: μ^– + p -> n + ν_μ
Questa interazione si può verificare prima del decadimento spontaneo. Ci sono quindi due modalità diverse di “scomparsa” per un muone: il decadimento spontaneo e l’interazione con un protone, ne consegue che il tempo di vita effettivo dei muoni all’interno della materia è leggermente inferiore al tempo di vita nel vuoto. Per gli antimuoni, che sono carichi positivamente, questo non si verifica perchè non formano stati legati con i nuclei, questo secondo meccanismo di interazione non è quindi disponibile, per cui il loro tempo di vita non risulta perturbato dalle interazioni con la materia.

Il tempo di vita che misuriamo con il nostro apparato, essendo una media su entrambe le particelle, sarà quindi necessariamente un pò minore del tempo di vita che il muone ha nello spazio vuoto, pari a τ_μ =2.19703 ± 0.00004 μsec. Per quanto riguarda l’interazione del muone con la materia, possiamo considerare lo scintillatore plastico come costituito principalmente da carbonio, per il quale la vita media è stata accuratamente misurata e vale τ_c = 2.043 ± 0.003 μsec. Abbiamo quindi i seguenti dati:
Per gli antimuoni – non soggetti ad interazione : τ⁺ =2.19703 ± 0.00004 μsec
Per i muoni – soggetti ad interazione: τ^– =2.043 ± 0.003 μsec

Il valore che osserviamo dovrebbe essere compreso tra questi due valori. Supponendo che al livello del suolo il numero di muoni sia uguale al numero degli antimuoni (dalla letteratura scientifica si evince che c’è una piccola prevalenza dei muoni positivi, ma per il nostro livello di analisi li possiamo assumere uguali) il tempo medio di decadimento si può calcolare nel seguente modo :

1/τ = 1/2(1/τ⁺ )+ 1/2(1/τ^–) ->  τ = 2.117 μsec

Il valore ottenuto nella nostra misurazione è : τ = 2.100 ± 0.027 μsec, risulta pertanto in buon accordo con il valore atteso.

Conclusioni

L’apparato che abbiamo descritto in questo articolo si è dimostrato un rivelatore di muoni molto efficiente. La parte elettronica non è critica e l’utilizzo della scheda di acquisizione Red Pitaya permette agevolmente l’osservazione degli impulsi prodotti dal passaggio dei muoni attraverso lo scintillatore plastico. Con un software “ad hoc” basato sulle API redpitaya gli impulsi possono essere facilmente registrati per fare delle elaborazioni successive. In questo progetto abbiamo proposto l’analisi degli impulsi al fine di ricercare l’impulso corrispondente al successivo decadimento del muone. Con questa funzionalità abbiamo potuto acquisire oltre 10000 eventi di decadimento e dare una ottima stima della vita media della particella.

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