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Temperatura & Conduzione del Calore

Abstract : questo Post presenta la costruzione di un apparato per lo studio della conduzione del calore. Dopo una premessa teorica nella quale vengono ricordate la legge di Fourier e l’equazione del calore viene descritto l’apparato e vengono riportati alcuni esempi di applicazione dello stesso. In particolare si è studiato il caso della trasmissione di un impulso di calore lungo una barra ed il caso della distribuzione di temperatura lungo una barra i cui estremi siano tenuti a temperatura costante. E’ stata anche studiata la curva di raffreddamento in aria di un contenitore di acqua riscaldato fino quasi all’ebollizione.

Introduzione

Il calore e la temperatura sono concetti fisici ben noti, per i quali tutti noi abbiamo un idea piuttosto precisa, grazie soprattutto alle continue esperienze quotidiane che abbiamo con oggetti più o meno caldi oppure freddi. Dietro l’apparente semplicità ed immediatezza dei concetti di “caldo” e “freddo” si nascondono però processi fisici piuttosto complessi che spesso richiedono una descrizione matematica piuttosto sofisticata.
La teoria di Fourier sulla conduzione del calore ha ormai quasi due secoli, rimane comunque un argomento affascinante che si presta a numerose esperienze di fisica sperimentale.
In questo post descriveremo alcuni esperimenti sulla conduzione del calore, basandosi sull’acquisizione dei dati di temperatura da sensori collegati ad un micro-controllore PSoC.

La Teoria

Consideriamo una funzione scalare T(x,y,z) che descrive la temperatura in un dato punto (x,y,z) dello spazio tridimensionale di un oggetto. L’esperienza quotidiana di ciascuno di noi è che la temperatura si trasmette e si distribuisce in tutto lo spazio circostante. A questo punto ci domandiamo come si trasmette la temperatura ai punti più vicini ed ai punti più lontani e che evoluzione avviene nel tempo.
L’equazione del calore è esattamente la descrizione di queste variazioni spaziali e temporali date certe condizioni iniziali e condizioni al contorno.

Come sappiamo il calore diffonde dalle parti più calde dell’oggetto verso le parti più fredde (come indicato nella immagine a lato) e nel tempo la temperatura tende a livellarsi. Il punto però è sapere come calcolare la temperatura in un punto specifico e ad un certo istante temporale data la distribuzione iniziale della temperatura (condizioni iniziali), le condizioni esterne (condizioni al contorno) ed il materiale di cui è composto l’oggetto. Per fare questo è necessario conoscere l’equazione che regola l’intero fenomeno.

Legge di Fourier

La legge sperimentale di conduzione del calore (legge di Fourier) stabilisce che la velocità di trasmissione del calore attraverso un materiale è proporzionale al gradiente di temperatura ed alla superficie (ortogonale) attraverso la quale il calore fluisce.
In una situazione semplificata dove il flusso di calore è solo unidirezionale (ad esempio una sbarra lunga con dimensioni trasversali minime) possiamo scrivere la legge di Fourier nei seguenti termini :

dQ/dt = -k*A*(dT/dx)

Dove A è la superficie e k è la conducibilità termica del materiale.
In termini tridimensionali l’equazione si esprime in termini vettoriali :

q = -k∇T

Dove q è il vettore del flusso di calore (calore che fluisce attraverso una superficie unitaria nell’unità di tempo), mentre ∇T è il vettore gradiente di temperatura definito con le derivate parziali :

∇T = (∂T/∂x, ∂T/∂y, ∂T/∂z)

L’Equazione del Calore

Per determinare la distribuzione di temperatura T(x,y,z) è necessario disporre di un’equazione differenziale che esprima come varia la temperatura del mezzo al variare della posizione nello spazio e nel tempo. Per ricavare questa equazione facciamo uso della legge di Fourier descritta sopra e del principio di conservazione dell’energia. Non ripetiamo il ragionamento fisico e matematico ma ci limitiamo a riportare il risultato finale :

α∇2T + qg/ρc = ∂T/∂t (Equazione di Fourier)

Dove abbiamo utilizzato il “laplaciano” : 2T = 2T/∂x2 + ∂2T/∂y2 + ∂2T/∂z2
α = k/ρc : diffusività termica
k : conducibilità termica
ρ : densità
c : capacità termica
qg: calore generato internamente per unità di volume e per unità di tempo

L’equazione di Fourier è una equazione differenziale del secondo ordine alle derivate parziali. Si tratta di una delle equazioni più studiate perché, oltre alla distribuzione della temperatura, rappresenta una vasta classe di processi fisici : ad esempio i processi diffusivi sono modellati da questa equazione. L’equazione può essere semplificata, e risolta, in alcuni casi particolari :

  • Caso stazionario : α∇2T + qg/ρc = 0 (equazione di Poisson)
  • Caso stazionario senza generazione di calore : 2T = 0 (equazione di Laplace)
  • Regime variabile senza generazione di calore : α∇2T = ∂T/∂t

Approfondimenti sono facilmente accessibili online.

La Curva di Raffreddamento

La prima misura sperimentale consiste nella rilevazione, ad intervalli di tempo regolari, della temperatura di un fluido (acqua) durante il raffreddamento. L’acqua viene riscaldata fino a circa 70 – 80 °C, e poi viene posta in una beuta di vetro boro-silicato e lasciata a raffreddare in aria. La temperatura viene misurata da una sonda a termistore o termocoppia, come viene mostrato nella immagine a lato.

In questo caso particolare si può applicare l’equazione di Fourier con le seguenti condizioni :

– fluido isotermo e quindi 2T = 0 ( 2T/∂x2= 0 …)
– il calore perso è proporzionale alla differenza di temperatura : qg ∝ (T – Tamb)

Con queste premesse l’equazione si semplifica e diventa :

dT/dt = -kT

dove T non indica più la temperatura ma bensì la differenza con la temperatura ambiente. Questa equazione ha una semplice soluzione nella classica funzione esponenziale :

T = T0e-kt

Le misure che abbiamo fatto e che riportiamo sotto in scala semi-logaritmica si accordano ottimamente con la previsione di un andamento esponenziale decrescente.

Apparato per lo studio della Conduzione del Calore

Per condurre misurazioni più complete sulla trasmissione del calore abbiamo costruito un apparato che ci permette di acquisire la temperatura letta da otto sonde termometriche. I dati vengono acquisiti ad intervalli regolari mediante un microcontrollore PSoC e registrati su file tramite un Raspberry Pi (fare riferimento al post Raspberry Pi Logger (ITA) per la descrizione dettagliata). La sonda di temperatura è la DS18B20 che è una sonda digitale che comunica tramite protocollo 1-wire. Il range della sonda è piuttosto limitato : da -55°C a +125°C e precisione e sensibilità non sono elevatissime ma sono adatte ai nostri scopi, inoltre le sonde sono a basso costo e si interfacciano facilmente con il nostro PSoC.
Le immagini sotto mostrano i collegamenti delle 8 sonde e lo sketch di programmazione del PsoC.

Le sonde di temperature sono state inserite all’interno di una barra di alluminio di sezione quadrata 20x20mm e lunga 40cm. Su di questa barra sono stati praticati 8 fori per l’inserimento delle sonde. Per migliorare il contatto termico tra alluminio e sonda è stata utilizzata della pasta termica. Le immagini sotto mostrano un dettaglio della barra forata ed il posizionamento di alcune sonde.

Le sonde sono state collegate con del semplice filo e la sbarra è stata isolata termicamente con uno strato di lana di roccia, avvolta ulteriormente con un foglio di alluminio. Le immagini sotto mostrano la realizzazione.

Il risultato finale è costituito dalla sbarra isolata termicamente e con le otto sonde posizionate sulla sbarra e distanziate fra loro di 5 cm. Ai due estremi della barra sono state fissati due spezzoni di alluminio, della medesima sezione, che hanno lo scopo di trasmettere il calore alla sbarra stessa, ad esempio immergendoli in acqua calda o fredda, come mostrato nella immagine seguente.

Esperimento 1 sulla Conduzione del Calore

Nel primo esperimento abbiamo riscaldato per un minuto un estremo della barra, immergendolo in acqua calda a 70°C, e poi lo abbiamo successivamente raffreddato immergendolo in acqua fredda a 4°C. In pratica abbiamo sottoposto un estremo della barra ad un riscaldamento impulsivo.
Ci aspettiamo che il calore fluisca lungo la barra di alluminio dando luogo ad una di onda di calore che si propaga dall’estremo riscaldato verso l’estremo tenuto a temperatura ambiente.
Le sonde di temperatura sono indicate con le sigle T0, T1, …, T7, dove T0 è la più vicina all’estremo riscaldato, mentre T7 è la più lontana.
I due grafici che riportiamo sotto mostrano l’andamento della temperatura misurata dalle sonde in funzione del tempo.

Dai grafici si vede come ogni sonda registra un aumento di temperatura seguito da una lenta diminuzione ad andamento esponenziale. In ogni punto della barra il picco della temperatura viene raggiunto in tempi diversi ed il valore assoluto del picco diminuisce all’aumentare della distanza, come si può vedere bene nei due grafici seguenti in cui vengono riportati il momento del picco ed il valore in funzione della distanza dall’estremo riscaldato.

I risultati ottenuti mostrano chiaramente l’onda di calore che si propaga lunga la barra evidenziando due aspetti : il tempo di propagazione che cresce in misura non lineare con la distanza e l’ampiezza dell’onda (temperatura di picco) che decresce con andamento esponenziale all’aumentare della distanza tra il punto considerato ed il punto di applicazione dell’impulso di calore.

Esperimento 2 sulla Conduzione del Calore

Nel secondo esperimento abbiamo posto i due estremi della barra a temperature mantenute costanti : un estremo è stato immerso in acqua a 4°C mentre l’altro è stato riscaldato immergendolo in acqua a 90°C. La temperatura è stata controllato con una termocoppia e mantenuta costante aggiungendo, in caso, del ghiaccio e nell’altro riscaldando l’acqua con una piastra elettrica riscaldante.

In questo caso l’equazione di Fourier della temperatura ha una soluzione analitica che consiste in un andamento lineare tra i due estremi mantenuti a temperatura costante, come viene mostrato nella immagine a lato.

Le temperature registrate dalle sonde sono mostrate nei grafici seguenti. In particolare nel primo grafico viene mostrato l’andamento temporale, mentre nel secondo viene mostrato l’andamento della temperatura in funzione della posizione della sonda. Si vede come l’andamento della temperatura, dopo un transitorio, tende ad assumere un andamento lineare tra le temperature dei due estremi della barra.

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