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Conteggio e Statistica dei Fotoni

Introduzione

Questo post vuole esaminare con un pò di dettaglio la misurazione della intensità luminosa mediante la tecnica del conteggio dei fotoni (photon counting). Ne abbiamo già parlato in altri post : La Luce come Quanti di Radiazione , Il Conteggio dei Fotoni. In questo post ci vogliamo occupare in particolare delle distribuzioni statistiche che si ottengono nelle misurazioni di photon counting.

In questi esperimenti, la luce incidente sul PMT genera impulsi elettrici che vengono registrati da un contatore, generando una distribuzione statistica dei conteggi dei fotoni. Diverse fonti di luce – a bassa intensità – possono essere differenziate dalle corrispondenti distribuzioni statistiche prodotte nel processo di rilevamento.

A seconda delle proprietà della sorgente di luce vengono ottenuti tre regimi di distribuzione statistica: Poissoniana, super-Poissoniana e sub-Poissoniana. Questi regimi sono definiti dalla relazione tra la varianza Δn e il numero medio n di conteggi di fotoni per la distribuzione corrispondente.

  • Sub-Poissonian statistics: Δn < √n
  • Poissonian statistics: Δn = √n
  • Super-Poissonian statistics: Δn > √n

La distribuzione di Poisson è caratteristica di sorgenti di luce coerenti, come i laser, mentre la distribuzione Super-Poisson descrive meglio sorgenti caratterizzate da minore coerenza, come i LED. Per sorgenti di luce completamente non coerenti, come le sorgenti termiche, la distribuzione statistica diviene sempre più distribuita casualmente fino ad assomigliare ad una distribuzione Bose-Einstein avente il picco in corrispondenza del valore 0.

La distribuzione Sub-Poisson ha un picco ancora più stretto di quello relativo alla distribuzione Poisson e può essere spiegata solo ricorrendo alla statistica quantistica : è un esempio di luce quantistica, inutile dire che la sua osservazione sperimentale non è cosa facile.

Rivelatore a Fotomoltiplicatore

Come fotomoltiplicatore è stato utilizzato il modulo H7828 Hamamatsu, il quale contiene al suo interno un tubo fotomoltiplicatore da 19mm, il circuito ad alta velocità per il conteggio di fotoni ed una sezione di alimentazione che fornisce l’alta tensione al tubo. L’alta tensione per il tubo ed il livello di soglia del discriminatore sono pre-settati al livello ottimale in modo da permettere il funzionamento del modulo semplicemente collegando l’alimentazione a +5V.
La risposta spettrale del fototubo va da 300 nm a 650 nm, il sensore è quindi adatto ad essere utilizzato nella gamma del visibile.

Specifiche del Fotomoltiplicatore

Input Voltage : 4.5 – 5.5 V
Peak Sensitivity Wavelength : 420 nm
Dark Count : 60 eventi/s
Pulse-pair Resolution : 70 ns
Output Pulse Width : 30 ns
Output Pulse Height : 3.0 V
Load Resistance : 50 ohm
Signal Output Logic : positive

L’immagine sotto mostra l’alloggiamento del modulo H7828 all’interno di una scatola metallica a tenuta di luce, all’interno della scatola è stato anche inserito il regolatore di tensione da +5V.
Su di un lato della scatola, di fronte all’area sensibile del PMT, è stato praticato un foro in modo da permettere alla luce di raggiungere il fotocatodo del fotomoltiplicatore. Su questo foro viene poi applicato del nastro di alluminio con una apertura ancora più piccola (pin-hole) in modo da ridurre ulteriormente la quantità di luce.

Setup Sperimentale

Il setup sperimentale è composto dalla “dark box” e dalla elettronica di conteggio descritta nel post Photon Counter basato su PSoC. La “dark box” è un contenitore a tenuta di luce al cui interno vengono posti la scatola metallica con il fotomoltiplicatore e la sorgente di luce che si vuole misurare. L’interno della dark box è mostrato nella immagine iniziale del post, come si può notare l’interno della scatola è verniciato di colore nero per diminuire le riflessioni. Tra la sorgente di luce ed il fotomoltiplicatore possono essere posti dei filtri per diminuire l’intensità della emissione luminosa nel caso in cui fosse tale da mandare in saturazione il fotomoltiplicatore.

Il contatore “photon counter” viene utilizzato in due modalità : Simple Counter e Time Gated Counter. Nella modalità Simple Counter il contatore esegue un conteggio continuo e calcola il rateo in CPS, insieme allo scarto quadratico medio. Questi valori vengono visualizzati sul display, insieme al tempo di misura ed al numero di impulsi registrati. Nella immagine sotto si vede il risultato della misurazione del rumore di fondo del PMT : anche in condizioni di completa oscurità viene registrata una media di circa 40 impulsi al secondo. Si tratta di un valore tutto sommato basso, del quale però dobbiamo tenere conto nelle nostre misurazioni.

Nella modalità Time Gated Counter il contatore esegue il conteggio degli impulsi ricevuti all’interno di una finestra temporale chiamata Gate. Durante ogni nuovo impulso di Gate viene eseguito il conteggio e viene mostrato il risultato sul display, insieme al tempo di misura ed al numero di impulsi di Gate ricevuti dal momento dello start. Gli impulsi di Gate vengono ottenuti da un generatore di segnali sul quale si può programmare frequenza ed ampiezza dell’impulso. Nella immagine sotto si vede una frequenza di 1 Hz con ampiezza di 50 ms.

Misure da Sorgente Laser

La prima sorgente luminosa che abbiamo misurato è un Laser a diodo da 5 mW che emette sul rosso a 650 nm. Il laser è stato posto di fronte al pin-hole del PMT e schermato da un filtro come si vede nella immagine sotto. Il tutto inserito all’interno della dark box. Il laser viene pilotato da un alimentatore regolato in corrente in modo da produrre una emissione molto debole ma stabile. In queste condizioni possiamo ottenere un rateo di conteggio di circa 2000 – 3000 CPS.

Ma si tratta veramente di singoli fotoni ?

Con il seguente ragionamento lo possiamo dimostrare abbastanza facilmente : 2000 CPS corrispondono ad un intervallo temporale medio tra un fotone ed il successivo di circa 0,5 ms. In questo tempo il fotone percorre oltre 100000 m, quindi la distanza spaziale media tra un fotone ed il successivo è grandissima. Alternativamente possiamo calcolare che il tempo impiegato da un fotone, dopo aver superato il filtro, per raggiungere il PMT vale circa 300 ps (distanza pari a circa 10 cm), enormemente inferiore alla separazione temporale media misurata fra fotoni successivi : questo significa che lo spazio tra sorgente e rivelatore è praticamente sempre vuoto ! E quelli rivelati sono effettivamente impulsi riconducibili a singoli fotoni !

Usando la modalità Time Gated Counter abbiamo acquisito la distribuzione statistica della emissione della sorgente laser. In pratica abbiamo conteggiato il numero degli impulsi ricevuti in una finestra temporale di 50 ms, la misura è stata ripetuta per un tempo sufficiente ad acquisire un numero congruo di campioni (circa 5000). I dati vengono trasmessi dal counter ad un RaspberryPI che provvede alla registrazione ed alla elaborazione successiva.
Il grafico sotto mostra l’istogramma ottenuto con la misurazione, in ascissa c’è il numero dei fotoni registrati nell’intervallo temporale prescelto, in ordinata le occorrenze. La linea continua corrisponde invece ad una distribuzione di Poisson calcolata.
Come si può vedere la corrispondenza tra la curva e l’istrogramma è ottima.

Misure da Sorgente LED

Dopo il laser abbiamo fatto le stesse misure con una sorgente LED uitilizzando la sorgente LED descritta nel post : Sorgente Luminosa a LED a Bassa Intensità. Abbiamo regolato l’intensità fino ad ottenere un rateo di circa 1000 CPS, come mostrato nella immagine sotto.

I grafici sotto mostrano invece la distribuzione statistica che si ottiene con due intervalli temporali di gate : 20 ms e 50 ms. Si nota come gli istogrammi siano più distribuiti rispetto alla funzione di Poisson : siamo quindi nel caso di una distribuzione Super-Poisson, segno che la luce emessa dal LED ha un grado di coerenza inferiore rispetto a quella laser.

Misure da Luce Ambientale

L’ultima misura effettuata è quella con la luce ambientale che abbiamo lasciato filtrare nella dark box. Evitando di sigillare perfettamente la dark box si può ottenere un flusso fotonico proveniente dalla luce ambientale che quindi possiamo assumere completamente incoerente. Il rateo medio è di 5000 CPS e abbiamo scelto una finestra di gate di 20 ms.

La distribuzione statistica che si ottiene è mostrata nel grafico seguente. Si nota subito un andamento più appiattito rispetto alla distribuzione di Poisson, ma soprattutto si nota una forte presenza di intervalli temporali privi di impulsi o con pochi impulsi : questo è un segno che la sorgente è molto incoerente e randomica e la sua distribuzione si avvicina al modello Bose-Einstein.

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